uma esfera sólida de aço com diâmetro de 400 mm(rho=7832 kg / m^3, c=559 J / kg K, k=48,8 W / mK) é revestida com uma camada de material dielétrico com espessura de 2 mm e condutividade térmica 0,04 W / mK. A esfera revestida encontra-se inicialmente a uma temperatura uniforme de 500^circ C e é súbitamente resfriada pela imersão em um grande banho de óleo, no qual Tinfty=100^circ C e h=3300 W / m^2 K. Estime o tempo necessário para a temperatura da esfera revestida atingir 140^circ C. Dica: desconsidere o armazenamento de energia no revestimento, mas considere ele para determinar a resistência térmica.

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conceitos Envolvidos
Temos uma esfera sólida de aço com diâmetro de 400 , mm, revestida por uma camada de material dielétrico com espessura de 2 , mm. As propriedades físicas dadas são:
  • Densidade do aço: rho = 7832 , kg/m^3
  • Capacidade térmica do aço: c = 559 , J/(kg cdot K)
  • Condutividade térmica do aço: k = 48,8 , W/(m cdot K)
  • Condutividade térmica do revestimento: kr = 0,04 , W/(m cdot K)
  • Condutividade do resfriamento por convecção: h = 3300 , W/(m^2 cdot K)
  • Temperatura ambiente do óleo: Tinfty = 100^circ C
A esfera inicialmente está a 500^circ C e queremos estimar o tempo necessário para que a temperatura da esfera revestida atinja 140^circ C. Para resolver esse problema, usaremos conceitos de condução de calor e transferência de calor por convecção, aplicando o modelo de resistência térmica.

Passo 2

Cálculo das Áreas e Volumes
Primeiro, vamos converter o diâmetro da esfera para o raio e calcular as áreas envolvidas.
Diâmetro da esfera de aço: D = 400 , mm = 0,4 , m
Raio da esfera de aço: rs = D/2 = 0,2 , m
Espessura do revestimento: de
Portanto, o raio total da esfera revestida: r = rs + de
Área superficial da esfera revestida: A = 4pi r^2 = 4pi (0,202)^2 approx 0,513 , m^2

Passo 3

Calculo da Massa da Esfera de Aço
Para determinar a quantidade de calor armazenada na esfera de aço, precisamos calcular sua massa.
Volume da esfera de aço: Vs = 43pi rs^3 = 43pi (0,2)^3 approx 0,0335 , m^3
Massa da esfera de aço: m = rho Vs = 7832 times 0,0335 approx 262,6 , kg

Passo 4

Determinação das Resistências Térmicas
Vamos considerar duas resistências térmicas:
  1. Resistência à condução no revestimento dielétrico ( Rcond):
    A resistência térmica para condução em uma camada esférica é dada por:
    Rcond = 14pi kr rs r de
    Onde kr é a condutividade térmica do revestimento, rs é o raio da esfera de aço, r é o raio total da esfera revestida, e de é a espessura do revestimento.
  2. Resistência à convecção no óleo ( Rconv):
    A resistência térmica para convecção é dada por:
    Rconv = 1h A
    Onde h é o coeficiente de convecção e A é a área superficial da esfera revestida.
Calculando Rcond:
Rcond = 14pi (0,04) (0,2)(0,202) (0,002) approx 0,0024pi times 0,04 times 0,2 times 0,202 approx 0,002 / 0,0203 approx 0,098 , K/W
Calculando Rconv:
Rconv = 13300 times 0,513 approx 11692 approx 0,00059 , K/W

Passo 5

Determinação da Resistência Térmica Total
A resistência térmica total ( Rtotal) é a soma das resistências em série:
Rtotal = Rcond + Rconv approx 0,098 + 0,00059 approx 0,0986 , K/W
Como Rconv é muito menor que Rcond, a resistência total é aproximadamente igual a Rcond.

Passo 6

Cálculo da Variação de Temperatura e Tempo Necessário
Utilizaremos a equação de resfriamento:
De
Onde:
  • De
  • Q = calor transferido = m c De
  • t = QP = m c De
Portanto, o tempo necessário:
t = m c Rtotal = 262,6 times 559 times 0,0986 approx 262,6 times 559 times 0,0986 approx 262,6 times 55,25 approx 14503 , s
Convertendo para horas:
t approx 145033600 approx 4,03 , horas

Resposta

O tempo necessário para a temperatura da esfera revestida atingir 140^circ C é aproximadamente 4,03 horas.

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