uma esfera sólida de aço com diâmetro de é revestida com uma camada de material dielétrico com espessura de 2 mm e condutividade térmica . A esfera revestida encontra-se inicialmente a uma temperatura uniforme de e é súbitamente resfriada pela imersão em um grande banho de óleo, no qual e . Estime o tempo necessário para a temperatura da esfera revestida atingir . Dica: desconsidere o armazenamento de energia no revestimento, mas considere ele para determinar a resistência térmica.

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conceitos Envolvidos
Temos uma esfera sólida de aço com diâmetro de , revestida por uma camada de material dielétrico com espessura de . As propriedades físicas dadas são:
  • Densidade do aço:
  • Capacidade térmica do aço:
  • Condutividade térmica do aço:
  • Condutividade térmica do revestimento:
  • Condutividade do resfriamento por convecção:
  • Temperatura ambiente do óleo:
A esfera inicialmente está a e queremos estimar o tempo necessário para que a temperatura da esfera revestida atinja . Para resolver esse problema, usaremos conceitos de condução de calor e transferência de calor por convecção, aplicando o modelo de resistência térmica.

Passo 2

Cálculo das Áreas e Volumes
Primeiro, vamos converter o diâmetro da esfera para o raio e calcular as áreas envolvidas.
Diâmetro da esfera de aço:
Raio da esfera de aço:
Espessura do revestimento:
Portanto, o raio total da esfera revestida:
Área superficial da esfera revestida:

Passo 3

Calculo da Massa da Esfera de Aço
Para determinar a quantidade de calor armazenada na esfera de aço, precisamos calcular sua massa.
Volume da esfera de aço:
Massa da esfera de aço:

Passo 4

Determinação das Resistências Térmicas
Vamos considerar duas resistências térmicas:
  1. Resistência à condução no revestimento dielétrico ( ):
    A resistência térmica para condução em uma camada esférica é dada por:
    Onde é a condutividade térmica do revestimento, é o raio da esfera de aço, é o raio total da esfera revestida, e é a espessura do revestimento.
  2. Resistência à convecção no óleo ( ):
    A resistência térmica para convecção é dada por:
    Onde é o coeficiente de convecção e é a área superficial da esfera revestida.
Calculando :
Calculando :

Passo 5

Determinação da Resistência Térmica Total
A resistência térmica total ( ) é a soma das resistências em série:
Como é muito menor que , a resistência total é aproximadamente igual a .

Passo 6

Cálculo da Variação de Temperatura e Tempo Necessário
Utilizaremos a equação de resfriamento:
Onde:
Portanto, o tempo necessário:
Convertendo para horas:

Resposta

O tempo necessário para a temperatura da esfera revestida atingir é aproximadamente horas.

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