uma esfera sólida de aço com diâmetro de
é revestida com uma camada de material dielétrico com espessura de 2 mm e condutividade térmica
. A esfera revestida encontra-se inicialmente a uma temperatura uniforme de
e é súbitamente resfriada pela imersão em um grande banho de óleo, no qual
e
. Estime o tempo necessário para a temperatura da esfera revestida atingir
. Dica: desconsidere o armazenamento de energia no revestimento, mas considere ele para determinar a resistência térmica.
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conceitos Envolvidos
Temos uma esfera sólida de aço com diâmetro de
, revestida por uma camada de material dielétrico com espessura de
. As propriedades físicas dadas são:
- Densidade do aço:
- Capacidade térmica do aço:
- Condutividade térmica do aço:
- Condutividade térmica do revestimento:
- Condutividade do resfriamento por convecção:
- Temperatura ambiente do óleo:
A esfera inicialmente está a
e queremos estimar o tempo necessário para que a temperatura da esfera revestida atinja
. Para resolver esse problema, usaremos conceitos de condução de calor e transferência de calor por convecção, aplicando o modelo de resistência térmica.
Passo 2
Cálculo das Áreas e Volumes
Primeiro, vamos converter o diâmetro da esfera para o raio e calcular as áreas envolvidas.
Diâmetro da esfera de aço:
Raio da esfera de aço:
Espessura do revestimento:
Portanto, o raio total da esfera revestida:
Área superficial da esfera revestida:
Passo 3
Calculo da Massa da Esfera de Aço
Para determinar a quantidade de calor armazenada na esfera de aço, precisamos calcular sua massa.
Volume da esfera de aço:
Massa da esfera de aço:
Passo 4
Determinação das Resistências Térmicas
Vamos considerar duas resistências térmicas:
-
Resistência à condução no revestimento dielétrico (
): A resistência térmica para condução em uma camada esférica é dada por:Ondeé a condutividade térmica do revestimento, é o raio da esfera de aço, é o raio total da esfera revestida, e é a espessura do revestimento. -
Resistência à convecção no óleo (
): A resistência térmica para convecção é dada por:Ondeé o coeficiente de convecção e é a área superficial da esfera revestida.
Calculando
:
Calculando
:
Passo 5
Determinação da Resistência Térmica Total
A resistência térmica total (
) é a soma das resistências em série:
Como
é muito menor que
, a resistência total é aproximadamente igual a
.
Passo 6
Cálculo da Variação de Temperatura e Tempo Necessário
Utilizaremos a equação de resfriamento:
Onde:
Portanto, o tempo necessário:
Convertendo para horas:
Resposta
O tempo necessário para a temperatura da esfera revestida atingir
é aproximadamente
horas.
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e
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