No espaço euclidiano R^n, defina duas operações
u oplus v & =u-v, forall u, v in R^n k cdot u & =-k u, forall k in R e u in R^n
As operações que aparecem à direita de ambas as igualdades são as usuais do R^n. Quais dos axiomas de um espaço vetorial são satisfeitas por (R^n, oplus, cdot) ?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos o espaço euclidiano R^n com duas operações definidas de maneira diferente das operações usuais:
u oplus v & = u - v, k cdot u & = -k u,
onde u, v in R^n e k in R. Nossa missão é verificar quais dos axiomas de um espaço vetorial são satisfeitos por esse conjunto com as operações oplus e cdot.
Para resolver isso, vamos revisar rapidamente o que são os axiomas de um espaço vetorial e, passo a passo, verificar cada um deles com as operações definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são os principais axiomas de um espaço vetorial. Existem oito axiomas divididos em duas partes: axiomas de adição vetorial e axiomas de multiplicação escalar. São eles:
Axiomas de Adição Vetorial:
  1. Comutatividade: u oplus v = v oplus u.
  2. Associatividade: (u oplus v) oplus w = u oplus (v oplus w).
  3. Elemento Neutro: Existe um vetor zero 0 tal que u oplus 0 = u.
  4. Inverso Aditivo: Para todo u, existe -u tal que u oplus (-u) = 0.
Axiomas de Multiplicação Escalar:
5. Distributividade em relação à Adição de Vetores: k cdot (u oplus v) = k cdot u oplus k cdot v.
6. Distributividade em relação à Adição de Escalares: (k + l) cdot u = k cdot u oplus l cdot u.
7. Compatibilidade Escalar: (kl) cdot u = k cdot (l cdot u).
8. Elemento Neutro da Multiplicação Escalar: 1 cdot u = u.
Vamos verificar cada axioma com as operações dadas.

Passo 3

1. Comutatividade ( u oplus v = v oplus u):
Com as operações definidas:
u oplus v = u - v v oplus u = v - u
Claramente, u - v neq v - u a menos que u = v, o que nem sempre é verdadeiro. Portanto, a comutatividade não é satisfeita.

Passo 4

2. Associatividade ( (u oplus v) oplus w = u oplus (v oplus w)):
Calculando ambos os lados:
Lado esquerdo:
(u oplus v) oplus w = (u - v) oplus w = (u - v) - w = u - v - w
Lado direito:
u oplus (v oplus w) = u oplus (v - w) = u - (v - w) = u - v + w
Como u - v - w neq u - v + w, a associatividade não é satisfeita.

Passo 5

3. Elemento Neutro ( u oplus 0 = u):
Buscamos um vetor 0 tal que:
u oplus 0 = u - 0 = u
Isso sugere que o vetor zero tradicional funciona como elemento neutro. Portanto, o axioma do elemento neutro é satisfeito.

Passo 6

4. Inverso Aditivo ( u oplus (-u) = 0):
Com as operações definidas:
u oplus (-u) = u - (-u) = u + u = 2u
Para que u oplus (-u) = 0, seria necessário que 2u = 0, o que só ocorre se u = 0. Portanto, o inverso aditivo não é satisfeito em geral.

Passo 7

5. Distributividade em relação à Adição de Vetores ( k cdot (u oplus v) = k cdot u oplus k cdot v):
Calculando ambos os lados:
Lado esquerdo:
k cdot (u oplus v) = k cdot (u - v) = -k(u - v) = -ku + kv
Lado direito:
k cdot u oplus k cdot v = (-k u) oplus (-k v) = (-k u) - (-k v) = -k u + k v
Ambos os lados resultam em -k u + k v. Portanto, a distributividade em relação à adição de vetores é satisfeita.

Passo 8

6. Distributividade em relação à Adição de Escalares ( (k + l) cdot u = k cdot u oplus l cdot u):
Calculando ambos os lados:
Lado esquerdo:
(k + l) cdot u = -(k + l)u = -k u - l u
Lado direito:
k cdot u oplus l cdot u = (-k u) oplus (-l u) = (-k u) - (-l u) = -k u + l u
Comparando, temos -k u - l u neq -k u + l u, a menos que l u = 0. Portanto, a distributividade em relação à adição de escalares não é satisfeita.

Passo 9

7. Compatibilidade Escalar ( (kl) cdot u = k cdot (l cdot u)):
Calculando ambos os lados:
Lado esquerdo:
(kl) cdot u = -(kl)u = -k l u
Lado direito:
k cdot (l cdot u) = k cdot (-l u) = -k (-l u) = k l u
Aqui, -k l u neq k l u a menos que k l u = 0. Portanto, a compatibilidade escalar não é satisfeita.

Passo 10

8. Elemento Neutro da Multiplicação Escalar ( 1 cdot u = u):
Com as operações definidas:
1 cdot u = -1 cdot u = -u
Para que 1 cdot u = u, seria necessário que -u = u, o que só ocorre se u = 0. Portanto, o axioma do elemento neutro da multiplicação escalar não é satisfeito.

Resposta

Somente os seguintes axiomas são satisfeitos por (R^n, oplus, cdot):
  1. Elemento Neutro da Adição: Existe um vetor zero 0 tal que u oplus 0 = u.
  2. Distributividade em relação à Adição de Vetores: k cdot (u oplus v) = k cdot u oplus k cdot v.
Todos os outros axiomas de um espaço vetorial não são satisfeitos pelas operações definidas.

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B+F