As operações que aparecem à direita de ambas as igualdades são as usuais do . Quais dos axiomas de um espaço vetorial são satisfeitas por ?
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos o espaço euclidiano com duas operações definidas de maneira diferente das operações usuais:
onde e . Nossa missão é verificar quais dos axiomas de um espaço vetorial são satisfeitos por esse conjunto com as operações e .
Para resolver isso, vamos revisar rapidamente o que são os axiomas de um espaço vetorial e, passo a passo, verificar cada um deles com as operações definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são os principais axiomas de um espaço vetorial. Existem oito axiomas divididos em duas partes: axiomas de adição vetorial e axiomas de multiplicação escalar. São eles:
Axiomas de Adição Vetorial:
Comutatividade:.
Associatividade:.
Elemento Neutro: Existe um vetor zero tal que .
Inverso Aditivo: Para todo , existe tal que .
Axiomas de Multiplicação Escalar:
5. Distributividade em relação à Adição de Vetores:.
6. Distributividade em relação à Adição de Escalares:.
7. Compatibilidade Escalar:.
8. Elemento Neutro da Multiplicação Escalar:.
Vamos verificar cada axioma com as operações dadas.
Passo 3
1. Comutatividade ():
Com as operações definidas:
Claramente, a menos que , o que nem sempre é verdadeiro. Portanto, a comutatividade não é satisfeita.
Passo 4
2. Associatividade ():
Calculando ambos os lados:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Como , a associatividade não é satisfeita.
Passo 5
3. Elemento Neutro ():
Buscamos um vetor tal que:
Isso sugere que o vetor zero tradicional funciona como elemento neutro. Portanto, o axioma do elemento neutro é satisfeito.
Passo 6
4. Inverso Aditivo ():
Com as operações definidas:
Para que , seria necessário que , o que só ocorre se . Portanto, o inverso aditivo não é satisfeito em geral.
Passo 7
5. Distributividade em relação à Adição de Vetores ():
Calculando ambos os lados:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Ambos os lados resultam em . Portanto, a distributividade em relação à adição de vetores é satisfeita.
Passo 8
6. Distributividade em relação à Adição de Escalares ():
Calculando ambos os lados:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Comparando, temos , a menos que . Portanto, a distributividade em relação à adição de escalares não é satisfeita.
Passo 9
7. Compatibilidade Escalar ():
Calculando ambos os lados:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Aqui, a menos que . Portanto, a compatibilidade escalar não é satisfeita.
Passo 10
8. Elemento Neutro da Multiplicação Escalar ():
Com as operações definidas:
Para que , seria necessário que , o que só ocorre se . Portanto, o axioma do elemento neutro da multiplicação escalar não é satisfeito.
Resposta
Somente os seguintes axiomas são satisfeitos por :
Elemento Neutro da Adição: Existe um vetor zero tal que .
Distributividade em relação à Adição de Vetores:.
Todos os outros axiomas de um espaço vetorial não são satisfeitos pelas operações definidas.