Considere o seguinte sub-espaço vetorial de M2(R) :
U=(ll x & y z & t ) rvert, x-y-z=0
Achar a matriz de mudança de B para C e a de C para B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um subespaço vetorial de matrizes com entradas reais, definido por uma condição específica: . Nosso objetivo é encontrar as matrizes de mudança de base de uma base para outra base e vice-versa dentro desse subespaço. Para isso, vamos precisar entender o que são bases de subespaços vetoriais, como representam vetores (ou matrizes, no caso) e como construir as matrizes de mudança de uma base para outra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o subespaço x & y z & t . Ele é formado por todas as matrizes y + z & y z & t que satisfazem a condição . Podemos escrever uma matriz genérica em como:
A condição nos dá uma relação entre os elementos , e . Podemos resolver essa equação para uma das variáveis, por exemplo, . Assim, qualquer matriz em pode ser escrita como:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma base para y + z & y z & t = y 1 & 1 0 & 0 + z 1 & 0 1 & 0 + t 0 & 0 0 & 1 . Para isso, identificamos as variáveis livres na expressão acima, que são B = 1 & 1 0 & 0 , 1 & 0 1 & 0 , 0 & 0 0 & 1 , e . Podemos expressar a matriz como uma combinação linear dessas variáveis:
Portanto, uma base para pode ser:

Passo 4

Vamos supor que a base C = 1 & 1 0 & 0 , 0 & 1 1 & 0 , 0 & 0 0 & 1 seja uma base diferente para . Por exemplo, podemos escolher:
Observamos que a segunda matriz em é diferente da segunda matriz em , o que nos dará uma relação interessante para a mudança de base.

Passo 5

Para encontrar a matriz de mudança de base de 1 & 1 0 & 0 = a 1 & 1 0 & 0 + b 0 & 1 1 & 0 + c 0 & 0 0 & 1 para a = 1, b = 0, c = 0 , precisamos expressar cada vetor de [I]B to C = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 em termos de . Ou seja, queremos encontrar coeficientes tais que:
Resolvendo isso, vemos que:
Fazendo isso para todas as matrizes de , montamos a matriz de mudança de base :

Passo 6

Agora, para encontrar a matriz de mudança de base de 0 & 1 1 & 0 = a 1 & 1 0 & 0 + b 1 & 0 1 & 0 + c 0 & 0 0 & 1 para a + b = 0 a = 1 c = 0 , seguimos o mesmo processo, mas expressando cada vetor de [I]C to B = 1 & -1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 em termos de .
Tomando a segunda matriz de :
Resolvendo:
Daqui, , , e .
Assim, a matriz de mudança de base é:

Resposta

As matrizes de mudança de base são:
[I]B to C = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 e [I]C to B = 1 & -1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

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