Um espécime tem comprimento original de 1 ft e diâmetro de 0.5 in . Este está sujeito a uma força de 500 lb . Quando a força cresce para 1800 lb , o espécime se alonga em 0.009 in . Determine o módulo de elasticidade do material considerando que este permanece no regime linear elástico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão fala sobre um espécime com certo comprimento e diâmetro que sofre alongamento quando submetido a uma força. O conteúdo principal aqui é o módulo de elasticidade, que nos ajuda a entender como um material reage a forças aplicadas enquanto ele ainda está no regime linear elástico (ou seja, quando ele ainda não foi deformado permanentemente). Para resolver, vamos precisar usar conceitos de força, área e deformação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa módulo de elasticidade. Ele é uma medida de quão rígido é um material e é calculado usando a relação entre tensão (força por unidade de área) e deformação (mudança no comprimento relativo ao comprimento original). A fórmula básica é:
E = TensãoDeformação ãçã

Passo 3

Vamos começar calculando a tensão. A tensão ($ \sigma $) é a força aplicada dividida pela área da seção transversal do material.
A força que causou o alongamento foi de 1300 lb (de 500 lb para 1800 lb), então:
sigma
A área da seção transversal ($ A $) de um cilindro é dada por:
De
Onde $ d $ é o diâmetro.
Dado que o diâmetro $ d = 0.5 $ in:
A
Agora, calculamos a tensão:
A = pi (d2)^2

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a deformação ($ \varepsilon $). A deformação é a mudança no comprimento dividida pelo comprimento original.
O resumo nos diz que o espécime se alonga em 0.009 in, e o comprimento original $ L = 1 $ ft = 12 in:
varepsilon

Passo 5

Agora, usando a fórmula do módulo de elasticidade:
E = sigmavarepsilon = 6627.5, lb/in^20.00075 approx 8,836,666.7, lb/in^2

Resposta

O módulo de elasticidade do material é aproximadamente $ 8.84 \times 10^{6} $ lb/in².

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