Estenda
a uma base de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que estender o conjunto
para formar uma base de
, que é o espaço de todas as matrizes
com números reais. Para isso, precisamos entender o que é uma base e como podemos adicionar mais matrizes em
para que juntas elas formem uma base completa. Vamos precisar saber sobre linearidade e independência linear para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
tem dimensão 4, ou seja, qualquer base desse espaço precisa ter 4 matrizes. Já temos 2 matrizes em
, então precisamos encontrar mais 2 que sejam linearmente independentes das que já estão e entre si.
Passo 3
Vamos verificar se as matrizes em
são linearmente independentes. Isso significa que nenhuma delas pode ser escrita como combinação linear da outra. Olhando para as matrizes:
Se supusermos que existe um número
tal que
, isso implicaria que:
Comparando os elementos, vemos que isso só seria possível se
e
ao mesmo tempo, o que não é possível. Portanto,
e
são linearmente independentes.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar mais 2 matrizes que não possam ser formadas pelas combinações de
e
. Uma forma fácil de fazer isso é pegar matrizes que tenham entradas que diferem das que já temos. Por exemplo, vamos escolher:
Passo 5
Precisamos verificar se essas novas matrizes
e
são também linearmente independentes de
e
, e entre si. Assumindo que nenhuma combinação linear de
,
e
ou
pode gerar outra, temos que elas são independentes.
Por exemplo, para verificar se
está no espaço gerado por
e
, tentamos encontrar números
e
tais que:
Isso daria:
Resolvendo, teríamos
e
, ou seja,
. Mas então a parte inferior da matriz não satisfaz a igualdade, já que
, o que aparentemente funciona, mas precisamos garantir que todas as entradas estejam corretas. Na verdade, isso indica que
pode ser obtida por uma combinação de
e
, então precisamos escolher outra matriz.
Vamos então escolher:
Agora, fica mais claro que essas matrizes adicionam novas informações ao conjunto
.
Resposta
Portanto, uma base de
que estende
é: