Estenda beta=(ll0 & 1 0 & 1),(ll1 & 1 0 & 1) a uma base de M2(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que estender o conjunto beta = 0 & 1 0 & 1, 1 & 1 0 & 1 para formar uma base de M2(R), que é o espaço de todas as matrizes 2 times 2 com números reais. Para isso, precisamos entender o que é uma base e como podemos adicionar mais matrizes em beta para que juntas elas formem uma base completa. Vamos precisar saber sobre linearidade e independência linear para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que M2(R) tem dimensão 4, ou seja, qualquer base desse espaço precisa ter 4 matrizes. Já temos 2 matrizes em beta, então precisamos encontrar mais 2 que sejam linearmente independentes das que já estão e entre si.

Passo 3

Vamos verificar se as matrizes em beta são linearmente independentes. Isso significa que nenhuma delas pode ser escrita como combinação linear da outra. Olhando para as matrizes:
A = 0 & 1 0 & 1, B = 1 & 1 0 & 1
Se supusermos que existe um número k tal que A = kB, isso implicaria que:
0 & 1 0 & 1 = k 1 & 1 0 & 1 = k & k 0 & k
Comparando os elementos, vemos que isso só seria possível se k = 0 e k = 1 ao mesmo tempo, o que não é possível. Portanto, A e B são linearmente independentes.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar mais 2 matrizes que não possam ser formadas pelas combinações de A e B. Uma forma fácil de fazer isso é pegar matrizes que tenham entradas que diferem das que já temos. Por exemplo, vamos escolher:
C = 1 & 0 0 & 0, D = 0 & 0 1 & 0

Passo 5

Precisamos verificar se essas novas matrizes C e D são também linearmente independentes de A e B, e entre si. Assumindo que nenhuma combinação linear de A, B e C ou D pode gerar outra, temos que elas são independentes.
Por exemplo, para verificar se C está no espaço gerado por A e B, tentamos encontrar números x e y tais que:
xA + yB = C
Isso daria:
x0 & 1 0 & 1 + y1 & 1 0 & 1 = y & x + y 0 & x + y = 1 & 0 0 & 0
Resolvendo, teríamos y = 1 e x + y = 0, ou seja, x = -1. Mas então a parte inferior da matriz não satisfaz a igualdade, já que 0 neq x + y = -1 + 1 = 0, o que aparentemente funciona, mas precisamos garantir que todas as entradas estejam corretas. Na verdade, isso indica que C pode ser obtida por uma combinação de A e B, então precisamos escolher outra matriz.
Vamos então escolher:
C = 0 & 0 1 & 0, D = 0 & 0 0 & 1
Agora, fica mais claro que essas matrizes adicionam novas informações ao conjunto beta.

Resposta

Portanto, uma base de M2(R) que estende beta é:
0 & 1 0 & 1, 1 & 1 0 & 1, 0 & 0 1 & 0, 0 & 0 0 & 1

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