(b) - (1,5) : Calcule o determinante da matriz M=(cccc1 & 3 & -2 & 5 0 & 2 & 1 & 3 2 & 4 & 1 & -1 4 & -1 & -4 & 2) usando o desenvolvimento por cofatores.
Obs: Indique qual foi a linha ou coluna escolhida antes de iniciar o desenvolvimento por cofatores.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante da matriz de tamanho 4x4 usando o método de desenvolvimento por cofatores. Para isso, vamos precisar entender o que é determinante, o que são cofatores e como aplicar esse método passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma linha ou coluna para desenvolver os cofatores. Geralmente, é mais fácil escolher a linha ou coluna com mais zeros para simplificar os cálculos, mas no nosso caso, não há zeros. Vou escolher a primeira linha para ficar mais simples.

Passo 3

A matriz M = 1 & 3 & -2 & 5 0 & 2 & 1 & 3 2 & 4 & 1 & -1 4 & -1 & -4 & 2 é:
Vamos lembrar que o determinante de uma matriz 4x4 pode ser calculado expandindo-a por cofatores, escolhendo uma linha e somando os produtos dos elementos dessa linha pelos seus respectivos cofatores.

Passo 4

Vamos calcular os cofatores para cada elemento da primeira linha. O cofator Cij = (-1)^i+j cdot det(Mij) é dado por:
onde é a matriz resultante de remover a i-ésima linha e a j-ésima coluna de .

Passo 5

Comecemos pelo primeiro elemento da primeira linha, que é 1. O cofator correspondente é:
C11 = (-1)^1+1 cdot det 2 & 1 & 3 4 & 1 & -1 -1 & -4 & 2
Simplificando:
C11 = 1 cdot det 2 & 1 & 3 4 & 1 & -1 -1 & -4 & 2

Passo 6

Agora, calculemos o determinante dessa matriz 3x3. Vamos usar a regra de Sarrus ou expansão por cofatores novamente. Optarei pela regra de Sarrus:
det 2 & 1 & 3 4 & 1 & -1 -1 & -4 & 2 = 2(1)(2) + 1(-1)(-1) + 3(4)(-4) - 3(1)(-1) - 1(4)(2) - 2(-1)(-4)
Calculando cada termo:
= 4 + 1 - 48 + 3 - 8 - 8 = -56
Então:
C11 = 1 cdot (-56) = -56

Passo 7

Agora, vamos para o segundo elemento da primeira linha, que é 3. O cofator correspondente é:
C12 = (-1)^1+2 cdot det 0 & 1 & 3 2 & 1 & -1 4 & -4 & 2
Simplificando:
C12 = -1 cdot det 0 & 1 & 3 2 & 1 & -1 4 & -4 & 2

Passo 8

Calculando esse determinante 3x3:
det = 0(1)(2) + 1(-1)(4) + 3(2)(-4) - 3(1)(4) - 1(2)(2) - 0(-1)(-4)
= 0 - 4 - 24 - 12 - 4 - 0 = -44
Então:
C12 = -1 cdot (-44) = 44

Passo 9

Terceiro elemento da primeira linha é -2. O cofator correspondente:
C13 = (-1)^1+3 cdot det 0 & 2 & 3 2 & 4 & -1 4 & -1 & 2
Simplificando:
C13 = 1 cdot det 0 & 2 & 3 2 & 4 & -1 4 & -1 & 2

Passo 10

Calculando esse determinante 3x3:
det = 0(4)(2) + 2(-1)(4) + 3(2)(-1) - 3(4)(4) - 2(2)(2) - 0(-1)(-1)
= 0 - 8 - 6 - 48 - 8 - 0 = -70
Então:
C13 = 1 cdot (-70) = -70

Passo 11

Quarto elemento da primeira linha é 5. O cofator correspondente:
C14 = (-1)^1+4 cdot det 0 & 2 & 1 2 & 4 & 1 4 & -1 & -4
Simplificando:
C14 = -1 cdot det 0 & 2 & 1 2 & 4 & 1 4 & -1 & -4

Passo 12

Calculando esse determinante 3x3:
det = 0(4)(-4) + 2(1)(4) + 1(2)(-1) - 1(4)(4) - 2(2)(-4) - 0(1)(-1)
= 0 + 8 - 2 - 16 + 16 - 0 = 6
Então:
C14 = -1 cdot 6 = -6

Passo 13

Agora, juntando tudo, o determinante de det(M) = 1 cdot (-56) + 3 cdot 44 + (-2) cdot (-70) + 5 cdot (-6) é:
= -56 + 132 + 140 - 30 = 186
Calculando cada termo:

Resposta

O determinante da matriz é .

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