Para estimar o tempo médio que funcionários levam para executar uma tarefa em certa empresa, um pesquisador escolheu uma amostra aleatória de 25 indivíduos, obtendo uma média de 400 e variância de 49, em segundos. Suponha que a execução de tarefas na população seja distribuída normalmente.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente quer estimar o tempo médio que os funcionários levam para fazer uma tarefa numa empresa. Para isso, o pesquisador pegou uma amostra aleatória de 25 pessoas, e dessa amostra, a média de tempo foi de 400 segundos, com uma variância de 49 segundos ao quadrado. Além disso, está dizendo que o tempo de execução das tarefas segue uma distribuição normal na população.
Aqui, a gente vai trabalhar com estatística inferencial, especificamente com a construção de um intervalo de confiança para a média populacional. A gente vai precisar entender como calcular esse intervalo usando a distribuição t de Student, já que estamos lidando com uma amostra pequena (n=25) e não conhecemos o desvio padrão da população, apenas o da amostra.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um intervalo de confiança. Basicamente, é uma faixa de valores que acreditamos que contenha o verdadeiro valor da média populacional com um certo nível de confiança, geralmente 95%.
Como temos uma amostra pequena (n < 30) e a população é normalmente distribuída, vamos usar a distribuição t de Student para calcular o intervalo de confiança.
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos:
- Média da amostra (
) = 400 segundos - Variância da amostra (
) = 49 segundos² - Desvio padrão da amostra (
) = segundos - Tamanho da amostra (
) = 25
Passo 4
O próximo passo é determinar o valor crítico da distribuição t para o nível de confiança desejado. Vamos supor que queremos um intervalo de confiança de 95%.
Para um intervalo de 95% e graus de liberdade (
) = n - 1 = 24, o valor crítico da t (t
) pode ser encontrado em tabelas ou usando uma calculadora estatística. Vamos supor que t
≈ 2.064.
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula do intervalo de confiança para a média:
Onde:
-
é a média da amostra -
é o valor crítico da t -
é o desvio padrão da amostra -
é o tamanho da amostra
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Primeiro, calculamos o erro padrão:
Passo 7
Agora, multiplicamos o valor crítico pela erro padrão:
Passo 8
Finalmente, calculamos os limites inferior e superior do intervalo de confiança:
Resposta
Portanto, com 95% de confiança, podemos afirmar que o tempo médio que os funcionários levam para executar a tarefa está entre aproximadamente 397.11 segundos e 402.89 segundos.
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. Você faz a cotação com
fornecedores, que te informam o custo
(em
, com o frete já incluso) relativo à cada
de porcelanato
:
| |
|
|
| :—: | :—: | :—: |
| 1 | 500 | 3 |
| 2 | 1.400 | 9 |
| 3 | 800 | 6 |
| 4 | 700 | 6 |
a. Calcule a média de e
e
.
b. Calcule a variância de e
e
.
c. Calcule o desvio padrão de e
e
.
e. Com base nos resultados dos itens b. e d., obtenha a versão padronizada de e
e
.
f. Com base nos resultados do item e., calcule o coeficiente de correlação entre e
.
g. Com base nos resultados do item f., o que você pode inferir sobre a relação entre o custo em e a quantidade de
de porcelanato?
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| :—: | :—: | :—: |
| 1 | 500 | 3 |
| 2 | 1.400 | 9 |
| 3 | 800 | 6 |
| 4 | 700 | 6 |
a. Calcule a média de
b. Calcule a variância de
c. Calcule o desvio padrão de
e. Com base nos resultados dos itens b. e d., obtenha a versão padronizada de
f. Com base nos resultados do item e., calcule o coeficiente de correlação entre
g. Com base nos resultados do item f., o que você pode inferir sobre a relação entre o custo em
No contexto da Questão 5., suponha que estamos interessados agora em estudar os
alunos em 3 grupos distintos: aqueles que se graduaram no tempo regular (
anos), aqueles que se graduaram com até um ano de atraso (
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a. Elabore uma tabela de distribuição de frequências da amostra categorizada .
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a. Elabore uma tabela de distribuição de frequências da amostra categorizada
b. Calcule a moda
Suponha agora que, ao invés de fornecer as cotações do porcelanato em
, seus fornecedores disponibilizem as cotações apenas em caixas, cada uma com aproximadamente
cada.
a. Faça a conversão de cada valor de de
para caixas, e re-elabore uma tabela com os valores de
correspondentes à cada
.
b. Calcule as médias, as variâncias e os desvios padrões de e
com os dados da nova amostra obtida no item a…
c. Com base nos resultados do item b., obtenha a nova amostra padronizada e
.
d. Com base nos resultados do item c., calcule o novo coeficiente de correlação entre e
.
e. Com base no resultado do item d., escreva a nova reta de regressão em unidades padronizadas.
f. Com base nos resultados dos itens b. e d., escreva a nova reta de regressão (geral) para .
g. Se você precisar de de caixas de porcelanato, qual seria o custo predito pela regressão,
?
a. Faça a conversão de cada valor de
b. Calcule as médias, as variâncias e os desvios padrões de
c. Com base nos resultados do item b., obtenha a nova amostra padronizada
d. Com base nos resultados do item c., calcule o novo coeficiente de correlação entre
e. Com base no resultado do item d., escreva a nova reta de regressão em unidades padronizadas.
f. Com base nos resultados dos itens b. e d., escreva a nova reta de regressão (geral) para
g. Se você precisar de
h. Suponha que você tenha um orçamento total de
. Com base na reta de regressão, qual seria a quantidade máxima de porcelanato que você poderia comprar (isto é, o valor de
correspondente), em caixas?