Para estimar o tempo médio que funcionários levam para executar uma tarefa em certa empresa, um pesquisador escolheu uma amostra aleatória de 25 indivíduos, obtendo uma média de 400 e variância de 49, em segundos. Suponha que a execução de tarefas na população seja distribuída normalmente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente quer estimar o tempo médio que os funcionários levam para fazer uma tarefa numa empresa. Para isso, o pesquisador pegou uma amostra aleatória de 25 pessoas, e dessa amostra, a média de tempo foi de 400 segundos, com uma variância de 49 segundos ao quadrado. Além disso, está dizendo que o tempo de execução das tarefas segue uma distribuição normal na população.
Aqui, a gente vai trabalhar com estatística inferencial, especificamente com a construção de um intervalo de confiança para a média populacional. A gente vai precisar entender como calcular esse intervalo usando a distribuição t de Student, já que estamos lidando com uma amostra pequena (n=25) e não conhecemos o desvio padrão da população, apenas o da amostra.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um intervalo de confiança. Basicamente, é uma faixa de valores que acreditamos que contenha o verdadeiro valor da média populacional com um certo nível de confiança, geralmente 95%.
Como temos uma amostra pequena (n < 30) e a população é normalmente distribuída, vamos usar a distribuição t de Student para calcular o intervalo de confiança.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • Média da amostra ( ) = 400 segundos
  • Variância da amostra ( ) = 49 segundos²
  • Desvio padrão da amostra ( ) = segundos
  • Tamanho da amostra ( ) = 25

Passo 4

O próximo passo é determinar o valor crítico da distribuição t para o nível de confiança desejado. Vamos supor que queremos um intervalo de confiança de 95%.
Para um intervalo de 95% e graus de liberdade ( ) = n - 1 = 24, o valor crítico da t (t ) pode ser encontrado em tabelas ou usando uma calculadora estatística. Vamos supor que t ≈ 2.064.

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula do intervalo de confiança para a média:
Onde:
  • é a média da amostra
  • é o valor crítico da t
  • é o desvio padrão da amostra
  • é o tamanho da amostra

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
Primeiro, calculamos o erro padrão:

Passo 7

Agora, multiplicamos o valor crítico pela erro padrão:

Passo 8

Finalmente, calculamos os limites inferior e superior do intervalo de confiança:

Resposta

Portanto, com 95% de confiança, podemos afirmar que o tempo médio que os funcionários levam para executar a tarefa está entre aproximadamente 397.11 segundos e 402.89 segundos.

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Suponha que você esteja conduzindo um projeto de acabamento de um apartamento, e um dos pontos do projeto esteja relacionado à estimação do custo com o material utilizado para o piso de alguns cômodos. Pela qualidade do acabamento (e por estar se sentindo rico), você decide por cotar porcelanato marmorizado polido, que é vendido em caixas de aproximadamente . Você faz a cotação com fornecedores, que te informam o custo (em , com o frete já incluso) relativo à cada de porcelanato :
| | | |
| :—: | :—: | :—: |
| 1 | 500 | 3 |
| 2 | 1.400 | 9 |
| 3 | 800 | 6 |
| 4 | 700 | 6 |
a. Calcule a média de e e .
b. Calcule a variância de e e .
c. Calcule o desvio padrão de e e .
e. Com base nos resultados dos itens b. e d., obtenha a versão padronizada de e e .
f. Com base nos resultados do item e., calcule o coeficiente de correlação entre e .
g. Com base nos resultados do item f., o que você pode inferir sobre a relação entre o custo em e a quantidade de de porcelanato?
No contexto da Questão 5., suponha que estamos interessados agora em estudar os alunos em 3 grupos distintos: aqueles que se graduaram no tempo regular ( anos), aqueles que se graduaram com até um ano de atraso ( a 5 anos) e aqueles que se graduaram com mais de um ano de atraso ( mais que 5 anos).
a. Elabore uma tabela de distribuição de frequências da amostra categorizada .
b. Calcule a moda dos anos até a graduação com base na amostra categorizada. Sua resposta é diferente daquela calculada no item a. da Questão 5.? Comente.
Suponha agora que, ao invés de fornecer as cotações do porcelanato em , seus fornecedores disponibilizem as cotações apenas em caixas, cada uma com aproximadamente cada.
a. Faça a conversão de cada valor de de para caixas, e re-elabore uma tabela com os valores de correspondentes à cada .
b. Calcule as médias, as variâncias e os desvios padrões de e com os dados da nova amostra obtida no item a…
c. Com base nos resultados do item b., obtenha a nova amostra padronizada e .
d. Com base nos resultados do item c., calcule o novo coeficiente de correlação entre e .
e. Com base no resultado do item d., escreva a nova reta de regressão em unidades padronizadas.
f. Com base nos resultados dos itens b. e d., escreva a nova reta de regressão (geral) para .
g. Se você precisar de de caixas de porcelanato, qual seria o custo predito pela regressão, ?
h. Suponha que você tenha um orçamento total de . Com base na reta de regressão, qual seria a quantidade máxima de porcelanato que você poderia comprar (isto é, o valor de correspondente), em caixas?