Um estudante de engenharia vê um prédio do campus da UFSM construído em um terreno plano, sob um ângulo de 30°. Aproximando-se do prédio mais 40m, passa a vê-lo sob um ângulo de 60°. Considerando que a base do prédio está no mesmo nível dos olhos do estudante, então a altura H, em metros, do prédio é igual a:
Passo 1
Vamos resumir o problema: Um estudante de engenharia observa um prédio sob um ângulo de 30°, e ao se aproximar 40 metros, o ângulo de visão aumenta para 60°. Queremos descobrir a altura $ H $ do prédio. Para resolver isso, vamos usar conceitos de trigonometria, especificamente as funções trigonométricas de tangente em triângulos retângulos.
Passo 2
Primeiro, imaginemos o cenário inicial. O estudante está a uma distância $ D $ do prédio e vê a altura $ H $ sob um ângulo de 30°. Em um triângulo retângulo formado pela altura do prédio, a distância até ele e a linha de visão, a tangente do ângulo de 30° é igual à altura dividida pela distância:
Passo 3
Depois de se aproximar 40 metros, a nova distância ao prédio é $ D - 40 $ metros, e o ângulo de visão passa a ser de 60°. Usando o mesmo raciocínio, temos:
Passo 4
Agora, temos duas equações:
- $ \tan(30°) = \frac{H}{D} $
- $ \tan(60°) = \frac{H}{D - 40} $
Podemos resolver esse sistema de equações para encontrar $ H $ e $ D $.
Passo 5
Primeiro, vamos lembrar os valores das tangentes:
- $ \tan(30°) = \frac{\sqrt{3}}{3} $
- $ \tan(60°) = \sqrt{3} $
Substituindo na primeira equação:
Passo 6
Substituindo $ H $ na segunda equação:
Multiplicando ambos os lados por $ D - 40 $:
Passo 7
Dividindo ambos os lados por $ \sqrt{3} $:
Multiplicando ambos os lados por 3 para eliminar a fração:
Passo 8
Isolando $ D $:
Passo 9
Agora que temos $ D = 60 $ metros, substituímos na expressão para $ H $:
Resposta
A altura do prédio é $ 20\sqrt{3} $ metros, aproximadamente 34,64 metros.