Os estudantes A, B e C estão matriculados na mesma turma de Estatística. Assuma que A frequente as aulas 30 % do tempo, B frequenta 50 % do tempo, e C frequenta 80 % do tempo.
Sabendo que esses estudantes assistem às aulas independentemente um do outro, determine:
(a) a probabilidade de que pelo menos um deles estará em aula num determinado dia;
(b) a probabilidade de exatamente um deles estar na aula em um determinado dia?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem três alunos: A, B e C, que frequentam as aulas de Estatística com certas probabilidades. A frequência deles é independente, ou seja, a presença de um não afeta a dos outros. Precisamos calcular duas coisas:
(a) A probabilidade de pelo menos um deles estar na aula em um dia qualquer.
(b) A probabilidade de exatamente um deles estar na aula nesse dia.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade básica, especificamente a ideia de eventos independentes e complementares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as probabilidades individuais:
  • A tem 30% de chance de estar na aula, ou seja, .
  • B tem 50% de chance, então .
  • C tem 80% de chance, então .

Passo 3

Para a parte (a), queremos a probabilidade de pelo menos um estar na aula. Em termos de probabilidade, isso é 1 menos a probabilidade de nenhum estar na aula.
Então, vamos calcular a probabilidade de ninguém estar na aula e subtrair de 1.

Passo 4

A probabilidade de A não estar na aula é .
A probabilidade de B não estar é .
A probabilidade de C não estar é .

Passo 5

Como as presenças são independentes, a probabilidade de nenhum estar na aula é:
P(nenhum) = 0,7 times 0,5 times 0,2 = 0,07

Passo 6

Agora, a probabilidade de pelo menos um estar na aula é:
P(pelo menos um) = 1 - P(nenhum) = 1 - 0,07 = 0,93

Passo 7

Para a parte (b), queremos a probabilidade de exatamente um estar na aula. Isso significa que apenas A, apenas B ou apenas C está presente, e os outros dois não estão.
Vamos calcular cada caso separadamente e depois somar.

Passo 8

Caso 1: Apenas A está na aula.
P(A) times P(não B) times P(não C) = 0,3 times 0,5 times 0,2 = 0,03 ãã
Caso 2: Apenas B está na aula.
P(não A) times P(B) times P(não C) = 0,7 times 0,5 times 0,2 = 0,07 ãã
Caso 3: Apenas C está na aula.
P(não A) times P(não B) times P(C) = 0,7 times 0,5 times 0,8 = 0,28 ãã

Passo 9

Agora, somamos as probabilidades dos três casos para encontrar a probabilidade total de exatamente um estar na aula:
P(exatamente um) = 0,03 + 0,07 + 0,28 = 0,38

Resposta

(a) A probabilidade de que pelo menos um dos alunos esteja na aula é 0,93.
(b) A probabilidade de que exatamente um deles esteja na aula é 0,38.

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