Para quais valores de
o decodificador de maioria de dois em três tem maior probabilidade de transmitir corretamente que a transmissão de única tentativa?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. A gente tem duas formas de transmitir uma informação:
- Transmissão Única: Enviar a informação uma vez.
- Decodificador de Maioria (2 em 3): Enviar a mesma informação três vezes e, depois, decidir pelo que a maioria recebeu.
Queremos descobrir para quais valores de
(probabilidade de erro na transmissão) a segunda opção é melhor para garantir que a informação seja transmitida corretamente do que apenas enviar uma vez.
Vamos usar conceitos de probabilidade para resolver isso!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a probabilidade de sucesso em cada cenário.
-
Transmissão Única:
- Probabilidade de transmitir corretamente:
.
- Probabilidade de transmitir corretamente:
-
Decodificador de Maioria (2 em 3):
- Aqui, a ideia é que mesmo que uma das três transmissões falhe, se as outras duas estiverem corretas, a informação será decodificada corretamente.
- Para isso, precisamos calcular a probabilidade de pelo menos duas transmissões saírem certas.
Vamos detalhar isso.
Passo 3
Para o Decodificador de Maioria, temos três possíveis situações onde a informaç��o é transmitida corretamente:
- Exatamente duas transmissões corretas e uma errada.
- Todas as três transmissões corretas.
Vamos calcular a probabilidade de cada caso e somar.
-
Probabilidade de exatamente duas corretas:
-
Probabilidade de todas as três corretas:
Então, a probabilidade total de sucesso no decodificador de maioria é:
Passo 4
Agora, queremos que a probabilidade de sucesso do decodificador de maioria seja maior que a da transmissão única. Então, estabelecemos a seguinte inequação:
Vamos resolver essa inequação para encontrar os valores de
que satisfazem essa condição.
Passo 5
Vamos simplificar a inequação passo a passo:
-
Primeiro, fatoramos
na parte esquerda: -
Podemos fatorar
na expressão completa: -
Simplificando dentro dos parênteses:Então:
-
Dividimos ambos os lados por
(considerando ): -
Distribuindo
: -
Simplificando:
-
Multiplicando ambos os lados por -1 (e invertendo a inequação):
-
Fatorando:
Passo 6
Vamos resolver a inequação
.
-
Encontramos as raízes da equação
: -
-
Dividimos a reta dos números em intervalos com base nas raízes:
-
-
Testamos cada intervalo na inequação:
- Para
: negativo e negativo → resultado positivo (não satisfaz). - Para
: positivo e negativo → resultado negativo (satisfaz). - Para
: positivo e positivo → resultado positivo (não satisfaz).
- Para
Resposta
Portanto, o decodificador de maioria de dois em três tem maior probabilidade de transmitir corretamente que a transmissão de única tentativa quando a probabilidade de erro
está entre
e
. Em outras palavras, para todo valor de
tal que:
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e
.
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