Repita o exercício anterior supondo que o ônibus chega T minutos após às 10 hs , onde T é exponencialmente distribuída com média de 15 minutos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que o ônibus chega T minutos depois das 10 horas, e T segue uma distribuição exponencial com média de 15 minutos. Isso significa que estamos lidando com Probabilidade e Estatística, especificamente com Distribuições de Probabilidade. Para resolver, vamos precisar entender a distribuição exponencial, sua média e a função de probabilidade associada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente a uma taxa constante. No nosso caso, o “evento” é a chegada do ônibus.
A distribuição exponencial é definida pela função de densidade de probabilidade:
Onde:
-
é a taxa de ocorrência (inverso da média). -
é o tempo.
Passo 3
Sabemos que a média
da distribuição exponencial é dado por:
No nosso caso, a média
é 15 minutos. Então, podemos encontrar
:
Passo 4
Agora que temos
, podemos escrever a função de densidade de probabilidade específica para esse caso:
Passo 5
Se quisermos, por exemplo, calcular a probabilidade de o ônibus chegar em menos de 10 minutos após as 10 horas, usamos a função de distribuição acumulada (CDF) da distribuição exponencial:
Substituindo
e
:
Passo 6
Vamos calcular o valor numérico:
Então:
Resposta
A probabilidade de o ônibus chegar em menos de 10 minutos após as 10 horas é aproximadamente 48,66%.
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