Em um estudo clínico, constatou-se que uma determinada injeção intravenosa reduziu o nível de uma certa substância no sangue nas seguintes quantidades: 0,7,-2,14,15,6,16,19,26. Assuma que esta amostra é aleatória e proveniente de uma população X sim N(mu, sigma^2).
(a) Obtenha um intervalo de confiança para mu com cobertura de 99 %.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um conjunto de dados sobre como uma injeção intravenosa afetou os níveis de uma substância no sangue: 0,7,-2,14,15,6,16,19,26. A gente quer descobrir um intervalo de confiança de 99% para a média mu dessa população que segue uma distribuição normal, ou seja, X sim N(mu, sigma^2). Para isso, vamos precisar calcular a média da amostra, o desvio padrão da amostra e usar a distribuição t de Student, já que a variância é desconhecida.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média da nossa amostra. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de elementos. Então:
barx = 0 + 7 + (-2) + 14 + 15 + 6 + 16 + 19 + 269
Calculando isso:
barx = 0 + 7 - 2 + 14 + 15 + 6 + 16 + 19 + 269 = 1019 approx 11,22
Então, a média da amostra barx é aproximadamente 11,22.

Passo 3

Agora, vamos calcular o desvio padrão da amostra, que nos ajuda a entender quão dispersos os dados estão em torno da média. Primeiro, calculamos a variância da amostra:
s^2 = sum (xi - barx)^2n - 1
Onde xi são os valores da amostra, barx é a média da amostra e n é o número de elementos. Vamos calcular cada termo (xi - barx)^2:
(0 - 11,22)^2 &approx 125,09 (7 - 11,22)^2 &approx 17,81 (-2 - 11,22)^2 &approx 175,29 (14 - 11,22)^2 &approx 7,73 (15 - 11,22)^2 &approx 14,29 (6 - 11,22)^2 &approx 27,37 (16 - 11,22)^2 &approx 22,84 (19 - 11,22)^2 &approx 59,17 (26 - 11,22)^2 &approx 220,15
Somando esses valores:
125,09 + 17,81 + 175,29 + 7,73 + 14,29 + 27,37 + 22,84 + 59,17 + 220,15 approx 679,64
Então, a variância da amostra é:
s^2 = 679,649 - 1 = 679,648 approx 84,96
E o desvio padrão da amostra s é:
s = raiz84,96 approx 9,22

Passo 4

Agora que temos a média da amostra barx approx 11,22 e o desvio padrão da amostra s approx 9,22, vamos construir o intervalo de confiança de 99% para a média mu. Como a variância é desconhecida e a amostra é pequena ( n = 9 < 30), usamos a distribuição t de Student.
A fórmula do intervalo de confiança é:
barx pm talpha/2 times sraizn
Onde:
  • talpha/2 é o valor crítico da distribuição t para um nível de confiança de 99% e n - 1 graus de liberdade.
  • s é o desvio padrão da amostra.
  • n é o tamanho da amostra.

Passo 5

Vamos encontrar o valor crítico talpha/2. Para um intervalo de confiança de 99%, o alpha é 1%, então alpha/2 = 0,5%. Com n - 1 = 8 graus de liberdade, consultando uma tabela t ou usando uma calculadora, encontramos que:
t0,005,8 approx 3,355

Passo 6

Agora, vamos substituir todos os valores na fórmula do intervalo de confiança:
11,22 pm 3,355 times 9,22raiz9
Calculando o denominador raiz9 = 3:
11,22 pm 3,355 times 9,223 approx 11,22 pm 3,355 times 3,07 approx 11,22 pm 10,30

Passo 7

Finalmente, calculando as extremidades do intervalo:
11,22 - 10,30 approx 0,92
11,22 + 10,30 approx 21,52

Resposta

O intervalo de confiança de 99% para a média mu é aproximadamente (0,92, 21,52).

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