Em um estudo clínico, constatou-se que uma determinada injeção intravenosa reduziu o nível de uma certa substância no sangue nas seguintes quantidades:
. Assuma que esta amostra é aleatória e proveniente de uma população
.
(a) Obtenha um intervalo de confiança para
com cobertura de
.
(a) Obtenha um intervalo de confiança para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um conjunto de dados sobre como uma injeção intravenosa afetou os níveis de uma substância no sangue:
. A gente quer descobrir um intervalo de confiança de
para a média
dessa população que segue uma distribuição normal, ou seja,
. Para isso, vamos precisar calcular a média da amostra, o desvio padrão da amostra e usar a distribuição t de Student, já que a variância é desconhecida.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média da nossa amostra. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de elementos. Então:
Calculando isso:
Então, a média da amostra
é aproximadamente
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o desvio padrão da amostra, que nos ajuda a entender quão dispersos os dados estão em torno da média. Primeiro, calculamos a variância da amostra:
Onde
são os valores da amostra,
é a média da amostra e
é o número de elementos. Vamos calcular cada termo
:
Somando esses valores:
Então, a variância da amostra é:
E o desvio padrão da amostra
é:
Passo 4
Agora que temos a média da amostra
e o desvio padrão da amostra
, vamos construir o intervalo de confiança de
para a média
. Como a variância é desconhecida e a amostra é pequena (
), usamos a distribuição t de Student.
A fórmula do intervalo de confiança é:
Onde:
-
é o valor crítico da distribuição t para um nível de confiança de e graus de liberdade. -
é o desvio padrão da amostra. -
é o tamanho da amostra.
Passo 5
Vamos encontrar o valor crítico
. Para um intervalo de confiança de
, o
é
, então
. Com
graus de liberdade, consultando uma tabela t ou usando uma calculadora, encontramos que:
Passo 6
Agora, vamos substituir todos os valores na fórmula do intervalo de confiança:
Calculando o denominador
:
Passo 7
Finalmente, calculando as extremidades do intervalo:
Resposta
O intervalo de confiança de
para a média
é aproximadamente
.