Seja a média de uma amostra aleatória de tamanho , admitindo distribuição . Encontre tal que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma média de uma amostra, que é representada por , e sabemos que ela segue uma distribuição normal com média e variância 9, ou seja, . O que a gente precisa encontrar é o tamanho da amostra tal que a probabilidade de estar dentro do intervalo seja igual a 0,9. Para isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados à distribuição amostral da média e à distribuição normal padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição da média da amostra, . Já que segue uma distribuição normal , a variância da média é . A raiz quadrada disso nos dá o desvio padrão da média: .
Passo 3
Agora, queremos encontrar a probabilidade de que a média da amostra esteja a menos de 1 unidade de distância da verdadeira média . Isso pode ser escrito como:
Podemos reescrever isso em termos de valores absolutos:
Passo 4
Para resolver isso, vamos padronizar a expressão usando a distribuição normal padrão. Isso significa transformar a diferença em unidades de desvio padrão. Fazemos isso dividindo a diferença pelo desvio padrão da média:
Simplificando, temos:
P(|Z| < raizn3) = 0,9
Onde Z segue uma distribuição normal padrão, ou seja, N(0, 1).
Passo 5
Sabemos que a probabilidade de Z estar entre -z e z é 0,9. Consultando uma tabela da distribuição normal padrão, encontramos que o valor de z que corresponde a uma probabilidade de 0,9 é aproximadamente 1,645. Então, temos:
raizn3 = 1,645
Passo 6
Agora, resolvemos para n. Multiplicando ambos os lados por 3:
raizn = 1,645 times 3
raizn = 4,935
Elevando ambos os lados ao quadrado:
n = (4,935)^2
n approx 24,37
Resposta
Portanto, o tamanho da amostra necessário é n = 25.