Seja barX a média de uma amostra aleatória de tamanho n, admitindo distribuição N(mu, 9). Encontre n tal que
P(barX-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma média de uma amostra, que é representada por barX, e sabemos que ela segue uma distribuição normal com média mu e variância 9, ou seja, N(mu, 9). O que a gente precisa encontrar é o tamanho da amostra n tal que a probabilidade de mu estar dentro do intervalo barX pm 1 seja igual a 0,9. Para isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados à distribuição amostral da média e à distribuição normal padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição da média da amostra, barX. Já que barX segue uma distribuição normal N(mu, 9), a variância da média é sigma^2barX = 9n. A raiz quadrada disso nos dá o desvio padrão da média: sigmabarX = 3raizn.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a probabilidade de que a média da amostra esteja a menos de 1 unidade de distância da verdadeira média mu. Isso pode ser escrito como:
P(barX - 1 < mu < barX + 1) = 0,9
Podemos reescrever isso em termos de valores absolutos:
P(|barX - mu| < 1) = 0,9

Passo 4

Para resolver isso, vamos padronizar a expressão usando a distribuição normal padrão. Isso significa transformar a diferença barX - mu em unidades de desvio padrão. Fazemos isso dividindo a diferença pelo desvio padrão da média:
P(|barX - mu3raizn| < 13raizn) = 0,9
Simplificando, temos:
P(|Z| < raizn3) = 0,9
Onde Z segue uma distribuição normal padrão, ou seja, N(0, 1).

Passo 5

Sabemos que a probabilidade de Z estar entre -z e z é 0,9. Consultando uma tabela da distribuição normal padrão, encontramos que o valor de z que corresponde a uma probabilidade de 0,9 é aproximadamente 1,645. Então, temos:
raizn3 = 1,645

Passo 6

Agora, resolvemos para n. Multiplicando ambos os lados por 3:
raizn = 1,645 times 3
raizn = 4,935
Elevando ambos os lados ao quadrado:
n = (4,935)^2
n approx 24,37

Resposta

Portanto, o tamanho da amostra necessário é n = 25.

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