Um estudo foi feito para relacionar a quantidade de fertilizante usado (X) e a produtividade obtida (Y) com uma amostra de 7 canteiros. Os seguintes dados foram obtidos: barX=400, barY=60 S x=raizsumi=1^x(Xi times barX)^2 / n=216; S y=raizsumi=1^y(Yi times barY)^2 / n=13.84
E a correlação entre X e Y é 0.92 . Verifique as alternativas a seguir
5. Os estimadores de mínimos quadrados dos coeficientes linear e angular são respectivamente, 36,421 e 0,059

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um estudo que relaciona a quantidade de fertilizante usado ($ X X Y $) em 7 canteiros. Os dados fornecidos são:
  • Média de $ X $ ($ \bar{X} $) = 400
  • Média de $ Y $ ($ \bar{Y} $) = 60
  • Desvio padrão de $ X $ ($ S_x $) = 216
  • Desvio padrão de $ Y $ ($ S_y $) = 13,84
  • Correlação entre $ X $ e $ Y $ ($ r $) = 0,92
A questão quer que a gente verifique se os estimadores de mínimos quadrados para os coeficientes linear e angular são, respectivamente, 36,421 e 0,059. Vamos resolver isso passo a passo usando teoria de regressão linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são os estimadores de mínimos quadrados. Na regressão linear, estamos tentando ajustar uma linha que melhor descreve a relação entre $ X $ e $ Y $. Essa linha tem a forma:
X
Onde:
  • $ a $ é o coeficiente linear (intercepto)
  • $ b $ é o coeficiente angular (inclinação)
Os estimadores de mínimos quadrados são as melhores estimativas para $ a $ e $ b $ que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela linha de regressão.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente angular ($ b $) primeiro. A fórmula para $ b $ é:
b
Onde:
  • $ r $ é a correlação entre $ X $ e $ Y $
  • $ S_y $ é o desvio padrão de $ Y $
  • $ S_x $ é o desvio padrão de $ X $
Substituindo os valores:
b
Calculando a divisão dentro dos parênteses primeiro:
b = r times (SySx)
Agora multiplicando pelo coeficiente de correlação:
r
Arredondando para três casas decimais, temos:
X

Passo 4

Agora, vamos calcular o coeficiente linear ($ a $). A fórmula para $ a $ é:
a
Onde:
  • $ \bar{Y} $ é a média de $ Y $
  • $ \bar{X} $ é a média de $ X $
  • $ b $ é o coeficiente angular que acabamos de calcular
Substituindo os valores:
a
Calculando a multiplicação:
a = barY - b times barX
Agora, subtraindo esse valor da média de $ Y $:
barY
Arredondando para duas casas decimais, temos:
Y

Resposta

Os estimadores de mínimos quadrados dos coeficientes linear e angular são, respectivamente, 36,42 e 0,059.

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