Um estudo foi feito para relacionar a quantidade de fertilizante usado (X) e a produtividade obtida (Y) com uma amostra de 7 canteiros. Os seguintes dados foram obtidos:
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E a correlação entre X e Y é 0.92 . Verifique as alternativas a seguir
5. Os estimadores de mínimos quadrados dos coeficientes linear e angular são respectivamente, 36,421 e 0,059
E a correlação entre X e Y é 0.92 . Verifique as alternativas a seguir
5. Os estimadores de mínimos quadrados dos coeficientes linear e angular são respectivamente, 36,421 e 0,059
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um estudo que relaciona a quantidade de fertilizante usado ($ X
Y $) em 7 canteiros. Os dados fornecidos são:
- Média de $ X $ ($ \bar{X} $) = 400
- Média de $ Y $ ($ \bar{Y} $) = 60
- Desvio padrão de $ X $ ($ S_x $) = 216
- Desvio padrão de $ Y $ ($ S_y $) = 13,84
- Correlação entre $ X $ e $ Y $ ($ r $) = 0,92
A questão quer que a gente verifique se os estimadores de mínimos quadrados para os coeficientes linear e angular são, respectivamente, 36,421 e 0,059. Vamos resolver isso passo a passo usando teoria de regressão linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são os estimadores de mínimos quadrados. Na regressão linear, estamos tentando ajustar uma linha que melhor descreve a relação entre $ X $ e $ Y $. Essa linha tem a forma:
Onde:
- $ a $ é o coeficiente linear (intercepto)
- $ b $ é o coeficiente angular (inclinação)
Os estimadores de mínimos quadrados são as melhores estimativas para $ a $ e $ b $ que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela linha de regressão.
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente angular ($ b $) primeiro. A fórmula para $ b $ é:
Onde:
- $ r $ é a correlação entre $ X $ e $ Y $
- $ S_y $ é o desvio padrão de $ Y $
- $ S_x $ é o desvio padrão de $ X $
Substituindo os valores:
Calculando a divisão dentro dos parênteses primeiro:
Agora multiplicando pelo coeficiente de correlação:
Arredondando para três casas decimais, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o coeficiente linear ($ a $). A fórmula para $ a $ é:
Onde:
- $ \bar{Y} $ é a média de $ Y $
- $ \bar{X} $ é a média de $ X $
- $ b $ é o coeficiente angular que acabamos de calcular
Substituindo os valores:
Calculando a multiplicação:
Agora, subtraindo esse valor da média de $ Y $:
Arredondando para duas casas decimais, temos:
Resposta
Os estimadores de mínimos quadrados dos coeficientes linear e angular são, respectivamente, 36,42 e 0,059.