Em um estudo com jogadores de futebol americano do ensino médio que sofreram lesões, os pesquisadores colocaram os jogadores em dois grupos. Jogadores que se recuperaram das concussões em 14 dias ou menos foram colocados no grupo 1. Aqueles que levaram mais de 14 dias foram para o grupo 2. Os tempos de recuperação (em dias) para o grupo 1 estão listados a seguir. Encontre a variância e o desvio padrão amostrais dos tempos de recuperação.
4 | 7 | 6 | 7 | 9 | 5 | 8 | 10 | 9 | 8 | 7 | 10 |
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é sobre estatística, mais especificamente sobre variância e desvio padrão. O que a gente vai precisar fazer é calcular quanto os tempos de recuperação dos jogadores variam em torno da média. Para isso, vamos precisar encontrar a média dos tempos, a diferença de cada tempo em relação a essa média, elevar essas diferenças ao quadrado, somar tudo isso e, por fim, dividir pelo número de jogadores menos um para achar a variância. Depois, tiramos a raiz quadrada da variância para conseguir o desvio padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média dos tempos de recuperação. Temos os seguintes tempos (em dias):
A média (
) é a soma de todos os valores dividida pelo número total de valores. Então:
Vamos somar esses números:
Então:
A média dos tempos de recuperação é 7,5 dias.
Passo 3
Agora, vamos calcular a diferença de cada tempo em relação à média e elevar essa diferença ao quadrado. Isso ajuda a ver quão distante cada valor está da média. Vamos fazer isso para cada valor:
Passo 4
Agora, vamos somar todos esses valores quadrados:
Vamos somar passo a passo:
A soma dos quadrados das diferenças é 39.
Passo 5
Agora, vamos calcular a variância amostral. A fórmula da variância amostral (
) é:
Onde:
-
é a soma dos quadrados das diferenças que calculamos (39). -
é o número de observações, que é 12.
Então:
A variância amostral é aproximadamente 3,545 dias².
Passo 6
Por fim, vamos encontrar o desvio padrão amostral (
). O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
O desvio padrão amostral é aproximadamente 1,884 dias.
Resposta
A variância amostral dos tempos de recuperação é aproximadamente 3,545 dias² e o desvio padrão amostral é aproximadamente 1,884 dias.