No estudo de uma população de bactérias, identificou-se que o número N de bactérias, t horas após o início do estudo, é dado por N(t) = 20.21,5t. Nessas condições, em quanto tempo a população de mosquitos duplicou?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde estamos estudando uma população de bactérias que cresce de acordo com a função $ N(t) = 20 \cdot 2^{1,5t} $. Aqui, $ N(t) $ representa o número de bactérias após $ t $ horas. A pergunta é: em quanto tempo essa população de bactérias duplica?
Isso envolve entender crescimento exponencial e como calcular o tempo de duplicação. Vamos precisar mexer com equações exponenciais e logaritmos para achar a resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função de crescimento dada: $ N(t) = 20 \cdot 2^{1,5t} $.
  • 20 é a população inicial de bactérias.
  • O termo $ 2^{1,5t} $ indica que a população está crescendo exponencialmente. O 1,5 no expoente mostra a taxa de crescimento.
Queremos saber em quanto tempo $ t $ a população dobra, ou seja, quando $ N(t) = 2 \times 20 = 40 $ bactérias.

Passo 3

Vamos montar a equação para encontrar o tempo de duplicação:
20 cdot 2^1,5t = 40
Aqui, estamos dizendo que queremos que a população alcance o dobro do inicial.

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa equação. Primeiro, dividimos ambos os lados por 20:
2^1,5t = 2
Perceba que $ 40 \div 20 = 2 $.

Passo 5

Sabemos que $ 2^{1,5t} = 2 $. Podemos reescrever o número 2 como uma potência de 2:
2^1,5t = 2
Como as bases são iguais (ambas são 2), podemos igualar os expoentes:
2^1,5t = 2^1

Passo 6

Agora, é só resolver para $ t $:
t
Convertendo para minutos:
t = 11,5 = 23 horas

Resposta

A população de bactérias duplica em 2/3 horas, ou seja, 40 minutos.

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