Um exame de laboratório tem probabilidade de 0,95 de resultar positivo se uma pessoa sofre de determinada doença (positivo verdadeiro) e probabilidade de 0,10 de resultar em positivo mesmo se a pessoa não sofre dessa doença (positivo falso). Estima-se que 0,5 % da população tenha referida doença. Suponha que o exame seja administrado a uma pessoa sobre a qual nada de relevante se sabe sobre a presença ou não da doença. Calcule as probabilidade de que © dado que o resultado foi negativo, a pessoa não tenha a doença.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um exame de laboratório que detecta uma doença. A gente vai trabalhar com probabilidades condicionais, que é um conceito de Probabilidade Bayesiana. Precisamos calcular a chance de uma pessoa não ter a doença, dado que o exame deu negativo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • Probabilidade de um teste positivo se a pessoa tem a doença: ç
  • Probabilidade de um teste positivo mesmo se a pessoa não tiver a doença: ãç
  • Probabilidade de uma pessoa ter a doença na população: ç (ou 0,5%)

Passo 3

Como a pessoa pode ou não ter a doença, a probabilidade de não ter a doença é:
P(Não Doença) = 1 - P(Doença) = 1 - 0,005 = 0,995 ãçç

Passo 4

A gente quer encontrar P(Não Doença|Negativo) = P(Negativo|Não Doença) times P(Não Doença)P(Negativo) ãç, que é a probabilidade de a pessoa não ter a doença dado que o exame foi negativo.
Pela Teorema de Bayes, temos:
ãçãçãç

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
  • P(Negativo) = P(Negativo|Doença) times P(Doença) + P(Negativo|Não Doença) times P(Não Doença) ãçãç
  • P(Negativo) = 0,05 times 0,005 + 0,90 times 0,995 = 0,00025 + 0,8955 = 0,89575 é a probabilidade total de um teste negativo, que pode acontecer se a pessoa tem a doença ou não:
ççãçãç
Sabemos que çç, então:

Passo 6

Agora, substituindo na fórmula de Bayes:
P(Não Doença|Negativo) = 0,90 times 0,9950,89575 ãç
P(Não Doença|Negativo) = 0,89550,89575 approx 0,9997 ãç

Resposta

A probabilidade de que, dado que o resultado foi negativo, a pessoa não tenha a doença é aproximadamente 99,97%.

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