Um exame de laboratório tem probabilidade de 0,95 de resultar positivo se uma pessoa sofre de determinada doença (positivo verdadeiro) e probabilidade de 0,10 de resultar em positivo mesmo se a pessoa não sofre dessa doença (positivo falso). Estima-se que da população tenha referida doença. Suponha que o exame seja administrado a uma pessoa sobre a qual nada de relevante se sabe sobre a presença ou não da doença. Calcule as probabilidade de que © dado que o resultado foi negativo, a pessoa não tenha a doença.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um exame de laboratório que detecta uma doença. A gente vai trabalhar com probabilidades condicionais, que é um conceito de Probabilidade Bayesiana. Precisamos calcular a chance de uma pessoa não ter a doença, dado que o exame deu negativo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • Probabilidade de um teste positivo se a pessoa tem a doença: ç
  • Probabilidade de um teste positivo mesmo se a pessoa não tiver a doença: ãç
  • Probabilidade de uma pessoa ter a doença na população: ç (ou 0,5%)

Passo 3

Como a pessoa pode ou não ter a doença, a probabilidade de não ter a doença é:
ãçç

Passo 4

A gente quer encontrar ãç, que é a probabilidade de a pessoa não ter a doença dado que o exame foi negativo.
Pela Teorema de Bayes, temos:
ãçãçãç

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
  • ãçãç
  • é a probabilidade total de um teste negativo, que pode acontecer se a pessoa tem a doença ou não:
ççãçãç
Sabemos que çç, então:

Passo 6

Agora, substituindo na fórmula de Bayes:
ãç
ãç

Resposta

A probabilidade de que, dado que o resultado foi negativo, a pessoa não tenha a doença é aproximadamente 99,97%.

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