Exemplo 7
Seja
e
. Determinar a frequência de ressonância
as frequências de meia potência. Calcular o fator de qualidade e a largura de banda. Determinar as potências dissipadas nas frequências
.
Seja
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos um circuito com resistência
, indutância
e capacitância
. Precisamos determinar:
- A frequência de ressonância
. - As frequências de meia potência
e . - O fator de qualidade
e a largura de banda . - As potências dissipadas nas frequências
, e .
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de circuitos ressonantes RLC e algumas fórmulas matemáticas específicas. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a frequência de ressonância
. Em um circuito RLC série, a ressonância ocorre quando a reatância indutiva
e a reatância capacitiva
se anulam. A fórmula para
é:
Aqui,
é a indutância e
é a capacitância.
Passo 3
Vamos calcular
usando os valores fornecidos:
Substituindo na fórmula:
Vamos calcular o denominador:
Então:
Passo 4
Agora, vamos determinar as frequências de meia potência
e
. Essas são as frequências onde a potência é metade da potência máxima na ressonância. A largura de banda
está relacionada a essas frequências:
Mas primeiro, precisamos calcular o fator de qualidade
.
Passo 5
O fator de qualidade
mede a seletividade do circuito ressonante. Em um circuito RLC série, é dado por:
Usando os valores:
Substituindo:
Passo 6
Com o fator de qualidade
, podemos encontrar a largura de banda
:
Agora, sabendo que:
E como as frequências de meia potência estão igualmente espaçadas em torno de
, temos:
Passo 7
Agora, vamos calcular as potências dissipadas nas frequências
,
e
. A potência dissipada
em um circuito RLC série é dada por:
Onde
é a tensão eficaz aplicada. Porém, como o exercício não fornece a tensão, podemos expressar a potência relativa em cada frequência.
Na ressonância (
), a impedância é mínima e a corrente é máxima, então a potência é máxima.
Nas frequências de meia potência (
e
), a potência é metade da potência máxima.
Resposta
Resumindo:
- Frequência de ressonância:
- Frequências de meia potência:
e - Fator de qualidade:
- Largura de banda:
- Potências dissipadas:
- Em
: potência máxima - Em
e :
- Em