Exemplo 7
Seja R=8 k Omega, L=0,2 mH e C=8 mu F. Determinar a frequência de ressonância e as frequências de meia potência. Calcular o fator de qualidade e a largura de banda. Determinar as potências dissipadas nas frequências omega0, omega1 e omega2.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos um circuito com resistência R = 8,kOmega, indutância L = 0,2,mH e capacitância C = 8,muF. Precisamos determinar:
  1. A frequência de ressonância omega0.
  2. As frequências de meia potência omega1 e omega2.
  3. O fator de qualidade Q e a largura de banda De.
  4. As potências dissipadas nas frequências omega0, omega1 e omega2.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de circuitos ressonantes RLC e algumas fórmulas matemáticas específicas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a frequência de ressonância omega0. Em um circuito RLC série, a ressonância ocorre quando a reatância indutiva XL e a reatância capacitiva XC se anulam. A fórmula para omega0 é:
omega0 = 1raizLC
Aqui, L é a indutância e C é a capacitância.

Passo 3

Vamos calcular omega0 usando os valores fornecidos:
L = 0,2,mH = 0,2 times 10^-3,H
C = 8,muF = 8 times 10^-6,F
Substituindo na fórmula:
omega0 = 1raiz0,2 times 10^-3,H times 8 times 10^-6,F
Vamos calcular o denominador:
0,2 times 10^-3 times 8 times 10^-6 = 1,6 times 10^-9
Então:
omega0 = 1raiz1,6 times 10^-9 = 14 times 10^-5 = 2,5 times 10^4,rad/s

Passo 4

Agora, vamos determinar as frequências de meia potência omega1 e omega2. Essas são as frequências onde a potência é metade da potência máxima na ressonância. A largura de banda De está relacionada a essas frequências:
De
Mas primeiro, precisamos calcular o fator de qualidade Q.

Passo 5

O fator de qualidade Q mede a seletividade do circuito ressonante. Em um circuito RLC série, é dado por:
Q = omega0 LR
Usando os valores:
omega0 = 2,5 times 10^4,rad/s
L = 0,2 times 10^-3,H
R = 8 times 10^3,Omega
Substituindo:
Q = 2,5 times 10^4 times 0,2 times 10^-38 times 10^3 = 58 = 0,625

Passo 6

Com o fator de qualidade Q, podemos encontrar a largura de banda De:
De
Agora, sabendo que:
De
E como as frequências de meia potência estão igualmente espaçadas em torno de omega0, temos:
omega1 = omega0 - De
omega2 = omega0 + De

Passo 7

Agora, vamos calcular as potências dissipadas nas frequências omega0, omega1 e omega2. A potência dissipada P em um circuito RLC série é dada por:
P = V^2R
Onde V é a tensão eficaz aplicada. Porém, como o exercício não fornece a tensão, podemos expressar a potência relativa em cada frequência.
Na ressonância ( omega0), a impedância é mínima e a corrente é máxima, então a potência é máxima.
Nas frequências de meia potência ( omega1 e omega2), a potência é metade da potência máxima.

Resposta

Resumindo:
  • Frequência de ressonância: omega0 = 2,5 times 10^4,rad/s
  • Frequências de meia potência: omega1 = 0,5 times 10^4,rad/s e omega2 = 4,5 times 10^4,rad/s
  • Fator de qualidade: Q = 0,625
  • Largura de banda: De
  • Potências dissipadas:
    • Em omega0: potência máxima Pmáx = V^2Rá
    • Em omega1 e omega2: P = Pmáx2á

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