Dê um exemplo do Teorema de Stokes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para dar um exemplo do Teorema de Stokes. Esse teorema é uma ferramenta poderosa na matemática, especialmente no cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes, como aplicar ele em um caso específico e calcular tanto a integral de superfície quanto a integral de linha envolvida. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, o que é o Teorema de Stokes? Em termos simples, ele relaciona a integral de um rotacional de um campo vetorial sobre uma superfície
com a integral de linha do campo ao longo da borda
dessa superfície. A fórmula é:
Isso significa que podemos calcular a integral de uma derivada (o rotacional) sobre uma superfície ou simplesmente fazer a integral do campo ao longo da borda dessa superfície, e os dois resultados serão iguais.
Passo 3
Vamos dar um exemplo concreto. Imagine que temos o campo vetorial:
E selecionamos a superfície
como sendo o disco no plano
com raio
. A borda
é então o círculo de raio
no mesmo plano.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular o rotacional de
:
Para nosso
:
Agora, calculamos a integral de superfície:
Como
é um disco de raio
, a área
é
, então:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de linha ao redor da borda
, que é o círculo de raio
no plano
. Podemos parametrizar essa curva
como:
Então,
.
Substituindo na integral de linha:
Calculando o produto escalar:
Então:
Resposta
Vemos que tanto a integral de superfície do rotacional de
sobre
quanto a integral de linha de
ao longo de
resultam em
. Isso confirma o Teorema de Stokes, já que os dois lados da equação são iguais.
Exercícios relacionados
a) Qual é a relação entre a intensidade e energia no contexto do estudo de ondas?
a) Explique o que é o número de onda
.
Julgue as afirmativas a seguir:
III - A intersecção entre A e B é igual ao conjunto vazio.
a)