Dê um exemplo do Teorema de Stokes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para dar um exemplo do Teorema de Stokes. Esse teorema é uma ferramenta poderosa na matemática, especialmente no cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes, como aplicar ele em um caso específico e calcular tanto a integral de superfície quanto a integral de linha envolvida. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, o que é o Teorema de Stokes? Em termos simples, ele relaciona a integral de um rotacional de um campo vetorial sobre uma superfície com a integral de linha do campo ao longo da borda dessa superfície. A fórmula é:
Isso significa que podemos calcular a integral de uma derivada (o rotacional) sobre uma superfície ou simplesmente fazer a integral do campo ao longo da borda dessa superfície, e os dois resultados serão iguais.

Passo 3

Vamos dar um exemplo concreto. Imagine que temos o campo vetorial:
E selecionamos a superfície como sendo o disco no plano com raio . A borda é então o círculo de raio no mesmo plano.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular o rotacional de :
Para nosso :
Agora, calculamos a integral de superfície:
Como é um disco de raio , a área é , então:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de linha ao redor da borda , que é o círculo de raio no plano . Podemos parametrizar essa curva como:
Então, .
Substituindo na integral de linha:
Calculando o produto escalar:
Então:

Resposta

Vemos que tanto a integral de superfície do rotacional de sobre quanto a integral de linha de ao longo de resultam em . Isso confirma o Teorema de Stokes, já que os dois lados da equação são iguais.

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