Exercício 8:

Considere um plano infinito em x y e z=0 com uma densidade de carga superficial sigma0 constante e positiva. Calcule o campo elétrico do plano para z>0 e z<0.
a) O que muda se sigma0 for negativo?

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos pede para calcular o campo elétrico gerado por um plano infinito carregado com uma densidade de carga superficial constante sigma0, positiva, nas regiões onde z > 0 e z < 0. A matéria envolvida aqui é Eletrostática, especificamente o cálculo de campos elétricos usando a Lei de Gauss. Vamos precisar entender como aplicar a Lei de Gauss para simetria planar e como a carga influencia a direção do campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica do vácuo epsilon0:
PhiE = oint E cdot dA = Qinternoepsilon0
No nosso caso, temos um plano infinito, então vamos escolher uma superfície gaussiana adequada para aproveitar a simetria do problema.

Passo 3

Para um plano infinito, a melhor escolha de superfície gaussiana é um “cilindro de Gauss” (também conhecido como caixa de Gauss) que tem duas faces paralelas ao plano e uma lateral perpendicular. Devido à simetria, o campo elétrico terá a mesma magnitude em todas as direções perpendiculares ao plano e será perpendicular a ele.

Passo 4

Vamos considerar que a densidade de carga superficial é sigma0 e constante. A carga total dentro da nossa superfície gaussiana será a densidade de carga multiplicada pela área da face do cilindro que está dentro do plano:
Qinterno = sigma0 cdot A
Onde A é a área da face do cilindro.

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss, temos:
PhiE = E cdot A + E cdot A = 2E A = sigma0 Aepsilon0
Aqui, 2EA vem do fato de que o campo elétrico passa pelas duas faces paralelas do cilindro.

Passo 6

Resolvendo para E:
2E A = sigma0 Aepsilon0 E = sigma02 epsilon0
Então, a magnitude do campo elétrico é sigma02 epsilon0.

Passo 7

Agora, vamos pensar na direção do campo elétrico. Como sigma0 é positiva, o campo elétrico sai do plano para ambos os lados. Ou seja:
  • Para z > 0: E = sigma02 epsilon0 z
  • Para z < 0: E = -sigma02 epsilon0 z

Passo 8

Respondendo à parte a): Se sigma0 for negativo, a direção do campo elétrico se inverte. Então:
  • Para z > 0: E = -|sigma0|2 epsilon0 z
  • Para z < 0: E = |sigma0|2 epsilon0 z
Isso significa que o campo agora aponta em direção ao plano para ambos os lados.

Resposta

O campo elétrico gerado pelo plano infinito com densidade de carga sigma0 é dado por:
  • Para z > 0: E = sigma02 epsilon0 z
  • Para z < 0: E = -sigma02 epsilon0 z
Se sigma0 for negativo, a direção do campo elétrico se inverte, apontando para o plano nas duas direções.

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