Exercício 8:
Considere um plano infinito em
e
com uma densidade de carga superficial
constante e positiva. Calcule o campo elétrico do plano para
e
.
a) O que muda se
for negativo?
a) O que muda se
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos pede para calcular o campo elétrico gerado por um plano infinito carregado com uma densidade de carga superficial constante
, positiva, nas regiões onde
e
. A matéria envolvida aqui é Eletrostática, especificamente o cálculo de campos elétricos usando a Lei de Gauss. Vamos precisar entender como aplicar a Lei de Gauss para simetria planar e como a carga influencia a direção do campo elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica do vácuo
:
No nosso caso, temos um plano infinito, então vamos escolher uma superfície gaussiana adequada para aproveitar a simetria do problema.
Passo 3
Para um plano infinito, a melhor escolha de superfície gaussiana é um “cilindro de Gauss” (também conhecido como caixa de Gauss) que tem duas faces paralelas ao plano e uma lateral perpendicular. Devido à simetria, o campo elétrico terá a mesma magnitude em todas as direções perpendiculares ao plano e será perpendicular a ele.
Passo 4
Vamos considerar que a densidade de carga superficial é
e constante. A carga total dentro da nossa superfície gaussiana será a densidade de carga multiplicada pela área da face do cilindro que está dentro do plano:
Onde
é a área da face do cilindro.
Passo 5
Aplicando a Lei de Gauss, temos:
Aqui,
vem do fato de que o campo elétrico passa pelas duas faces paralelas do cilindro.
Passo 6
Resolvendo para
:
Então, a magnitude do campo elétrico é
.
Passo 7
Agora, vamos pensar na direção do campo elétrico. Como
é positiva, o campo elétrico sai do plano para ambos os lados. Ou seja:
- Para
: - Para
:
Passo 8
Respondendo à parte a): Se
for negativo, a direção do campo elétrico se inverte. Então:
- Para
: - Para
:
Isso significa que o campo agora aponta em direção ao plano para ambos os lados.
Resposta
O campo elétrico gerado pelo plano infinito com densidade de carga
é dado por:
- Para
: - Para
:
Se
for negativo, a direção do campo elétrico se inverte, apontando para o plano nas duas direções.