Exercício 1: Um corpo é solto a partir do repouso de uma altura próxima à superfície da Terra. Tomando a altura inicial como referência
, obtemos a velocidado em função do tempo,
em que
é o coeficiente de atrito viscoso entre o ar o corpo,
é a massa do corpo e
a aceleração da gravidade. Encontre
e verifique os limites com
e
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um corpo que é solto do repouso de uma certa altura perto da Terra. A velocidade desse corpo em função do tempo é dada por:
onde:
- $ m $ é a massa do corpo,
- $ g $ é a aceleração da gravidade,
- $ b $ é o coeficiente de atrito viscoso entre o ar e o corpo.
O exercício pede para encontrar a posição $ y(t) $ do corpo em função do tempo e também verificar os limites quando $ t $ tende ao infinito ($ t \rightarrow \infty $) e quando $ b $ tende a zero ($ b \rightarrow 0 $). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integração, já que $ v(t) $ é a derivada de $ y(t) $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
Para encontrar $ y(t) $, precisamos integrar a função $ v(t) $ em relação ao tempo.
Passo 3
Vamos escrever a expressão para $ y(t) $ integrando $ v(t) $:
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Passo 4
Integrando cada parte:
E para a segunda integral, usamos a regra de integração de funções exponenciais:
onde $ k = \frac{b}{m} $. Então:
Passo 5
Substituindo as integrais na expressão de $ y(t) $:
Simplificando:
Passo 6
Agora, precisamos determinar a constante de integração $ C $. Sabemos que no tempo inicial $ t = 0 $, a altura $ y(0) = 0 $. Vamos aplicar isso na equação:
Então:
Passo 7
Substituindo $ C $ na expressão de $ y(t) $:
Vamos distribuir $ \frac{m g}{b} $:
E agrupando os termos:
Podemos reescrever isso de forma mais limpa:
Passo 8
Agora, vamos verificar os limites solicitados.
Quando $ t \rightarrow \infty $:
Então:
Este resultado indica que, à medida que o tempo aumenta, a posição cresce linearmente com o tempo, mas há um ajuste constante devido ao termo $ \frac{m^2 g}{b^2} $.
Quando $ b \rightarrow 0 $:
Para entender esse limite, vamos analisar a expressão original de $ v(t) $ quando $ b $ tende a zero:
Para entender esse limite, vamos analisar a expressão original de $ v(t) $ quando $ b $ tende a zero:
Usando o fato de que $ \lim_{b \to 0} \frac{1 - e^{-bt/m}}{b} = \frac{t}{m} $ (usando expansão em série de Taylor), temos:
Integrando $ v(t) = g t $:
Este é o resultado clássico para a queda livre sem resistência do ar.
Resposta
A posição do corpo em função do tempo é dada por:
Os limites são:
- Quando $ t \rightarrow \infty $:
- Quando $ b \rightarrow 0 $: