Exercício 1: Um corpo é solto a partir do repouso de uma altura próxima à superfície da Terra. Tomando a altura inicial como referência y=0, obtemos a velocidado em função do tempo,
v(t)=m gb(1-e^-b tm),
em que b é o coeficiente de atrito viscoso entre o ar o corpo, m é a massa do corpo e g a aceleração da gravidade. Encontre y(t) e verifique os limites com t infty e b 0.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um corpo que é solto do repouso de uma certa altura perto da Terra. A velocidade desse corpo em função do tempo é dada por:
v(t) = m gb(1 - e^-b tm),
onde:
  • $ m $ é a massa do corpo,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade,
  • $ b $ é o coeficiente de atrito viscoso entre o ar e o corpo.
O exercício pede para encontrar a posição $ y(t) $ do corpo em função do tempo e também verificar os limites quando $ t $ tende ao infinito ($ t \rightarrow \infty $) e quando $ b $ tende a zero ($ b \rightarrow 0 $). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integração, já que $ v(t) $ é a derivada de $ y(t) $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
v(t) = dy(t)dt
Para encontrar $ y(t) $, precisamos integrar a função $ v(t) $ em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos escrever a expressão para $ y(t) $ integrando $ v(t) $:
y(t)
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
v(t)

Passo 4

Integrando cada parte:
integral 1 , dt = t
E para a segunda integral, usamos a regra de integração de funções exponenciais:
integral e^-kt , dt = -1k e^-kt + C
onde $ k = \frac{b}{m} $. Então:
k = bm

Passo 5

Substituindo as integrais na expressão de $ y(t) $:
y(t)
Simplificando:
y(t) = m gb ( t - ( -mb e^-b tm ) ) + C

Passo 6

Agora, precisamos determinar a constante de integração $ C $. Sabemos que no tempo inicial $ t = 0 $, a altura $ y(0) = 0 $. Vamos aplicar isso na equação:
C
Então:
t = 0

Passo 7

Substituindo $ C $ na expressão de $ y(t) $:
C
Vamos distribuir $ \frac{m g}{b} $:
y(t)
E agrupando os termos:
y(t) = m gb ( t + mb e^-b tm ) - m^2 gb^2
Podemos reescrever isso de forma mais limpa:
m gb

Passo 8

Agora, vamos verificar os limites solicitados.
Quando $ t \rightarrow \infty $:
t infty
Então:
e^-b tm 0
Este resultado indica que, à medida que o tempo aumenta, a posição cresce linearmente com o tempo, mas há um ajuste constante devido ao termo $ \frac{m^2 g}{b^2} $.
Quando $ b \rightarrow 0 $:
Para entender esse limite, vamos analisar a expressão original de $ v(t) $ quando $ b $ tende a zero:
y(t) approx m g tb - m^2 gb^2 (1 - 0) = m g tb - m^2 gb^2
Usando o fato de que $ \lim_{b \to 0} \frac{1 - e^{-bt/m}}{b} = \frac{t}{m} $ (usando expansão em série de Taylor), temos:
m^2 gb^2
Integrando $ v(t) = g t $:
b 0
Este é o resultado clássico para a queda livre sem resistência do ar.

Resposta

A posição do corpo em função do tempo é dada por:
y(t) = m g tb - m^2 gb^2 (1 - e^-b tm )
Os limites são:
  • Quando $ t \rightarrow \infty $:
t infty
  • Quando $ b \rightarrow 0 $:
y(t) approx m g tb - m^2 gb^2

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