Uma partícula move-se ao longo de uma linha reta com uma velocidade dada por v = 12 3 t^2 m / s, onde t é dado em segundos. Quando t=1 s, a partícula está localizada 10 m à esquerda da origem. Determine a aceleração quando t=4 s, o deslocamento de t=0 para t =10 s e a distância que a partícula percorre durante este período.
Resposta: a=-24 m / s^2 ; De.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move em linha reta com uma velocidade dada por $ v = 12 - 3t^{2} $ m/s, onde $ t $ é o tempo em segundos. Sabemos que, quando $ t = 1 $ segundo, a partícula está 10 metros à esquerda da origem. Precisamos determinar três coisas:
  1. A aceleração quando $ t = 4 $ segundos.
  2. O deslocamento da partícula de $ t = 0 $ até $ t = 10 $ segundos.
  3. A distância total que a partícula percorre durante esse período.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática, especificamente relacionados a velocidade, aceleração, deslocamento e distância percorrida.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a aceleração quando $ t = 4 $ segundos. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
Temos:
t = 4
Derivando em relação a $ t $:
v(t) = 12 - 3t^2
Agora, substituímos $ t = 4 $ segundos na expressão da aceleração:
t

Passo 3

Agora, vamos calcular o deslocamento da partícula de $ t = 0 $ até $ t = 10 $ segundos. O deslocamento é a variação da posição da partícula nesse intervalo de tempo.
Primeiro, encontramos a função posição $ x(t) $ integrando a função velocidade:
t = 0
t = 10
Agora, usamos a condição inicial. Sabemos que, quando $ t = 1 $ segundo, $ x = -10 $ metros:
x(t)
v(t) = dxdt = 12 - 3t^2
x(t) = integral v(t) , dt = integral (12 - 3t^2) , dt = 12t - t^3 + C
t = 1
Então, a função posição fica:
x = -10
Agora, calculamos o deslocamento de $ t = 0 $ até $ t = 10 $ segundos:
-10 = 12(1) - (1)^3 + C
-10 = 12 - 1 + C
-10 = 11 + C
C = -21

Passo 4

Por fim, vamos determinar a distância total que a partícula percorre de $ t = 0 $ a $ t = 10 $ segundos. A distância total considera o trajeto percorrido sem levar em conta a direção, ou seja, é a soma dos caminhos positivos e negativos.
Como o deslocamento foi de -880 metros, isso indica que a partícula se deslocou 880 metros para a esquerda. Porém, para encontrar a distância total, precisamos verificar se houve alguma mudança de direção durante o movimento.
Analisando a função velocidade $ v(t) = 12 - 3t^{2} $, vemos que a velocidade se torna zero quando:
t = 0
t = 10
v(t) = 12 - 3t^2
12 - 3t^2 = 0
Isso significa que em $ t = 2 $ segundos a partícula muda de direção. Calculamos a posição nesse instante:
3t^2 = 12
Então, a partícula se moveu de $ x(0) = -21 $ m para $ x(2) = -5 $ m (movimento para a direita) e depois de $ x(2) = -5 $ m para $ x(10) = -901 $ m (movimento para a esquerda).
Calculamos a distância percorrida:
  1. Do $ t = 0 $ ao $ t = 2 $:
t^2 = 4 â
2. Do $ t = 2 $ ao $ t = 10 $:
t = 2 , segundos â
Somando as duas partes:
t = 2

Resposta

$ a = -24 , m/s^2 ; \Delta s = -880 , m ; s_T = 912 , m $

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