1. Exercício 1.3 - Um pinhão de módulo 8,0 mm deve acionar uma engrenagem cilíndrica reta numa relação de transmissão fixa e constante de 1:3. o referido projeto não deve apresentar o fenômeno da interferência para nenhuma das rodas envolvidas. Considerando um ângulo de pressão de 22,5^circ, determinar a menor combinação possível de dentes para atender tal condição. Os dentes não devem ser rebaixados e o pinhão deve apresentar, no mínimo, 11 dentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre engrenagens, especificamente sobre como um pinhão (a engrenagem menor) deve acionar uma engrenagem maior mantendo uma relação de transmissão de 1:3. A gente precisa garantir que não haja interferência entre os dentes das engrenagens e que o pinhão tenha pelo menos 11 dentes. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como módulo das engrenagens, relação de transmissão e evitar a interferência, usando o ângulo de pressão dado de 22,5^circ.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o módulo ( m) das engrenagens é uma medida que relaciona o diâmetro das engrenagens com o número de dentes. No nosso caso, o módulo é 8,0 , mm. A relação de transmissão ( i) é a razão entre o número de dentes da engrenagem motriz (o pinhão) e da engrenagem conduzida. Aqui, a relação é 1:3, ou seja, a engrenagem maior tem três vezes mais dentes que o pinhão.

Passo 3

Sabendo que a relação de transmissão i é igual a $ \frac{Z_2}{Z_1} $, onde Z2Z1 é o número de dentes do pinhão e Z1 o número de dentes da engrenagem maior, podemos escrever:
Z2
Como i = Z2Z1 = 3 , temos:
i = 3

Passo 4

Agora, queremos encontrar a menor combinação possível de dentes que atenda a essa relação. Sabemos que o pinhão deve ter, no mínimo, 11 dentes ( Z1 >= 11). Vamos começar com Z1 = 11 e calcular Z2:
Z2 = 3 times 11 = 33
Então, uma possível combinação é Z1 = 11 e Z2 = 33.

Passo 5

Precisamos verificar se essa combinação evita a interferência. Para isso, usamos a condição de ausência de interferência para engrenagens de dentes retos, que depende do número mínimo de dentes. A fórmula para o número mínimo de dentes ( Zmin) sem interferência é:
Zmin = 2sin^2(phi)
Onde phi é o ângulo de pressão. Vamos calcular Zmin com phi = 22,5^circ:
Zmin = 2sin^2(22,5^circ)
Calculando o valor:
sin(22,5^circ) approx 0,3827 sin^2(22,5^circ) approx 0,1464 Zmin approx 20,1464 approx 13,68
Isso significa que cada engrenagem deve ter pelo menos 14 dentes para evitar interferência.

Passo 6

Voltando à nossa combinação inicial Z1 = 11 e Z2 = 33, percebemos que o pinhão tem 11 dentes, que é menor que o Zmin approx 14. Portanto, essa combinação pode apresentar interferência.
Vamos tentar com Z1 = 14:
Z2 = 3 times 14 = 42
Agora, o pinhão tem 14 dentes, que atende à condição de Zmin.

Passo 7

Vamos confirmar se Z1 = 14 e Z2 = 42 realmente evitam a interferência. Usando a mesma condição:
Zmin approx 13,68
Como 14 é maior que 13,68, essa combinação está dentro do limite seguro e não apresenta interferência.

Resposta

A menor combinação possível de dentes que atende todas as condições é: pinhão com 14 dentes e engrenagem maior com 42 dentes.

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