- Exercício 1.5 - Considerando um sistema de transmissão onde um motor de potência 12 CV e rotação 900 rpm, deverá acionar diretamente uma engrenagem cilíndrica de dentes retos, pede-se determinar: o módulo normalizado necessário para a transmissão, considerando a equação de Lewis e um coeficiente de segurança de 1,25. Supor pinhão e coroa de aço carbono com tensões de escoamento de
e 1250
, respectivamente,
, choques moderados e acionamento uniforme.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um sistema de transmissão onde um motor de 12 CV (cavalos-vapor) e rotação de 900 rpm (rotações por minuto) está acionando uma engrenagem cilíndrica de dentes retos. Precisamos encontrar o módulo normalizado necessário para essa transmissão usando a equação de Lewis. Para isso, vamos precisar entender conceitos de potência, torque, tensão de escoamento, e aplicar a equação de Lewis considerando um coeficiente de segurança de 1,25. Tudo isso envolve um pouco de mecânica dos sólidos e teoria das engrenagens.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o módulo de uma engrenagem. O módulo é uma medida que relaciona o diâmetro das engrenagens com o tamanho dos dentes. Ele é fundamental para garantir que as engrenagens se encaixem corretamente e transmitam a força sem falhas.
Passo 3
Agora, vamos calcular o torque (T) que o motor está fornecendo. Sabemos que:
Onde:
- $ P $ é a potência em watts,
- $ N $ é a rotação em rpm,
- $ T $ é o torque em N·m.
Primeiro, precisamos converter a potência de CV para watts. Sabemos que 1 CV ≈ 735,5 W.
Agora, rearranjando a fórmula para encontrar o torque:
Passo 4
Com o torque calculado, precisamos determinar a força tangencial (Ft) na engrenagem. A relação entre torque e força é dada por:
Onde $ r $ é o raio da engrenagem. Mas, como estamos trabalhando com o módulo, vamos relacionar isso à circunferência da engrenagem.
Sabendo que o torque também pode ser expresso em termos de módulo (m):
E como $ d = m \times z $, onde $ z $ é o número de dentes, podemos avançar.
Passo 5
Vamos aplicar a equação de Lewis, que é usada para dimensionar os dentes das engrenagens. A equação é:
Onde:
- $ \sigma $ é a tensão no dente,
- $ b $ é a largura do dente,
- $ m $ é o módulo.
Como queremos garantir um coeficiente de segurança (CS) de 1,25, a tensão admissível ($ \sigma_{adm} $) é:
Passo 6
Considerando que a engrenagem é de aço carbono com uma tensão de escoamento de
para o pinhão e
para a coroa, vamos calcular a tensão admissível para cada uma.
Para o pinhão:
Para a coroa:
Passo 7
Assumindo que a tensão admissível deve ser menor ou igual à tensão calculada pela equação de Lewis, vamos isolar o módulo (m):
Vamos considerar a largura $ \frac{b}{m} = 10 $, então $ b = 10m $.
Substituindo:
Passo 8
Agora, precisamos determinar $ F_t $. Usando o torque calculado no Passo 3 e relacionando com o módulo:
Assumindo um número de dentes típico para o pinhão, digamos $ z = 20 $:
Passo 9
Substituindo $ F_t $ na equação do módulo:
Multiplicando ambos os lados por $ \sqrt{m} $:
Elevando ambos os lados à potência $ \frac{2}{3} $:
Passo 10
Arredondando para um valor padrão, o módulo normalizado necessário é aproximadamente $ m \approx 1 , cm $.
Resposta
O módulo normalizado necessário para a transmissão é de aproximadamente
.