1. Exercício 1.5 - Considerando um sistema de transmissão onde um motor de potência 12 CV e rotação 900 rpm, deverá acionar diretamente uma engrenagem cilíndrica de dentes retos, pede-se determinar: o módulo normalizado necessário para a transmissão, considerando a equação de Lewis e um coeficiente de segurança de 1,25. Supor pinhão e coroa de aço carbono com tensões de escoamento de 1700 kgf / cm^2 e 1250 kgf / cm^2, respectivamente, b / m=10, choques moderados e acionamento uniforme.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um sistema de transmissão onde um motor de 12 CV (cavalos-vapor) e rotação de 900 rpm (rotações por minuto) está acionando uma engrenagem cilíndrica de dentes retos. Precisamos encontrar o módulo normalizado necessário para essa transmissão usando a equação de Lewis. Para isso, vamos precisar entender conceitos de potência, torque, tensão de escoamento, e aplicar a equação de Lewis considerando um coeficiente de segurança de 1,25. Tudo isso envolve um pouco de mecânica dos sólidos e teoria das engrenagens.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o módulo de uma engrenagem. O módulo é uma medida que relaciona o diâmetro das engrenagens com o tamanho dos dentes. Ele é fundamental para garantir que as engrenagens se encaixem corretamente e transmitam a força sem falhas.

Passo 3

Agora, vamos calcular o torque (T) que o motor está fornecendo. Sabemos que:
P = 2pi N T60
Onde:
  • $ P $ é a potência em watts,
  • $ N $ é a rotação em rpm,
  • $ T $ é o torque em N·m.
Primeiro, precisamos converter a potência de CV para watts. Sabemos que 1 CV ≈ 735,5 W.
P
Agora, rearranjando a fórmula para encontrar o torque:
N

Passo 4

Com o torque calculado, precisamos determinar a força tangencial (Ft) na engrenagem. A relação entre torque e força é dada por:
T = Ft times r
Onde $ r $ é o raio da engrenagem. Mas, como estamos trabalhando com o módulo, vamos relacionar isso à circunferência da engrenagem.
Sabendo que o torque também pode ser expresso em termos de módulo (m):
r
E como $ d = m \times z $, onde $ z $ é o número de dentes, podemos avançar.

Passo 5

Vamos aplicar a equação de Lewis, que é usada para dimensionar os dentes das engrenagens. A equação é:
sigma = Ftb times m
Onde:
  • $ \sigma $ é a tensão no dente,
  • $ b $ é a largura do dente,
  • $ m $ é o módulo.
Como queremos garantir um coeficiente de segurança (CS) de 1,25, a tensão admissível ($ \sigma_{adm} $) é:
sigma

Passo 6

Considerando que a engrenagem é de aço carbono com uma tensão de escoamento de 1700 , kgf/cm^2 para o pinhão e 1250 , kgf/cm^2 para a coroa, vamos calcular a tensão admissível para cada uma.
Para o pinhão:
sigmaadm,pinhão = 17001,25 = 1360 , kgf/cm^2 ã
Para a coroa:
sigmaadm,coroa = 12501,25 = 1000 , kgf/cm^2

Passo 7

Assumindo que a tensão admissível deve ser menor ou igual à tensão calculada pela equação de Lewis, vamos isolar o módulo (m):
m = Ftb times sigmaadm
Vamos considerar a largura $ \frac{b}{m} = 10 $, então $ b = 10m $.
Substituindo:
bm = 10
b = 10m
m = Ft10m times sigmaadm

Passo 8

Agora, precisamos determinar $ F_t $. Usando o torque calculado no Passo 3 e relacionando com o módulo:
Ft
Assumindo um número de dentes típico para o pinhão, digamos $ z = 20 $:
Ft = 2Td = 2Tm times z
z = 20

Passo 9

Substituindo $ F_t $ na equação do módulo:
Ft
Multiplicando ambos os lados por $ \sqrt{m} $:
m = raiz9378/m10 times 1000 = raiz937810 times 1000 times m = raiz0,9378m
raizm
Elevando ambos os lados à potência $ \frac{2}{3} $:
m times raizm = raiz0,9378

Passo 10

Arredondando para um valor padrão, o módulo normalizado necessário é aproximadamente $ m \approx 1 , cm $.

Resposta

O módulo normalizado necessário para a transmissão é de aproximadamente 1 , cm.

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