Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
07)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o intervalo de convergência da série de potências . Aqui estamos lidando com séries de potências, que são somas infinitas envolvendo potências de , onde a gente precisa descobrir para quais valores de essa soma converge, ou seja, dá um número finito.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar nosso trabalho. Observa que . Assim, podemos reescrever a série como:
Agora, vamos focar na série .
Passo 3
Para encontrar o intervalo de convergência, vamos usar o Teste da Raiz ou o Teste da razão. Aqui, o Teste da razão é mais conveniente. Ele diz que para a série , calculamos:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
L = limn to infty |x+2| ( nn+1 )^2 = |x+2| cdot limn to infty ( nn+1 )^2 = |x+2| cdot 1 = |x+2|
Passo 5
Para a série convergir, precisamos que |x+2| < 1 :
-1 < x + 2 < 1
Isso significa que -3 < x < -1 deve estar entre -1 e 1:
Subtraindo 2 de todas as partes:
Passo 6
Agora, precisamos verificar o comportamento nos extremos do intervalo, ou seja, quando sumn=1^infty (-3+2)^n-1n^2 = sumn=1^infty (-1)^n-1n^2 e sumn=1^infty (-1+2)^n-1n^2 = sumn=1^infty 1^n-1n^2 = sumn=1^infty 1n^2 .
Para :
Essa é uma série alternada que converge pelo Teste da Alternância.