Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
07) sum1^infty (x+2)^n-1n^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o intervalo de convergência da série de potências sumn=1^infty (x+2)^n-1n^2. Aqui estamos lidando com séries de potências, que são somas infinitas envolvendo potências de (x - a), onde a gente precisa descobrir para quais valores de essa soma converge, ou seja, dá um número finito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar nosso trabalho. Observa que (x+2)^n-1 = (x+2)^nx+2. Assim, podemos reescrever a série como:
sumn=1^infty (x+2)^n-1n^2 = 1x+2 sumn=1^infty (x+2)^nn^2
Agora, vamos focar na série sumn=1^infty (x+2)^nn^2.

Passo 3

Para encontrar o intervalo de convergência, vamos usar o Teste da Raiz ou o Teste da razão. Aqui, o Teste da razão é mais conveniente. Ele diz que para a série sum an, calculamos:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Aplicando o Teste da razão na nossa série:
an = (x+2)^nn^2
Então:
an+1an = (x+2)^n+1 / (n+1)^2(x+2)^n / n^2 = (x+2) ( nn+1 )^2
Calculando o limite:
L = limn to infty |x+2| ( nn+1 )^2 = |x+2| cdot limn to infty ( nn+1 )^2 = |x+2| cdot 1 = |x+2|

Passo 5

Para a série convergir, precisamos que |x+2| < 1 :
-1 < x + 2 < 1
Isso significa que -3 < x < -1 deve estar entre -1 e 1:
Subtraindo 2 de todas as partes:

Passo 6

Agora, precisamos verificar o comportamento nos extremos do intervalo, ou seja, quando sumn=1^infty (-3+2)^n-1n^2 = sumn=1^infty (-1)^n-1n^2 e sumn=1^infty (-1+2)^n-1n^2 = sumn=1^infty 1^n-1n^2 = sumn=1^infty 1n^2 .
  • Para :
Essa é uma série alternada que converge pelo Teste da Alternância.
  • Para :
Essa é a série p com , que converge porque .

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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