Utilizando a Regra da Substituição, faça u=g(x), encontre d u=g^prime(x) d x, escreva as modificações encontradas, resolva a integral na variável u e volte para a variável x.
(g) integral 1(3-5 x)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a Regra da Substituição. A matéria aqui é cálculo integral, especificamente a técnica de substituição para simplificar integrais complicadas. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da integral para substituir por uma nova variável , calcular sua derivada , e assim facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral. Vamos definir:
u = 3 - 5x
Isso significa que estamos substituindo o denominador por , o que deve tornar nossa integral mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de du = ddx(3 - 5x) , dx = -5 , dx em relação a dx = -15 , du para encontrar :
Para isolar , dividimos ambos os lados por :

Passo 4

Substituímos integral 1(3-5x)^2 , dx = integral 1u^2 ( -15 , du ) = -15 integral 1u^2 , du e na integral original:

Passo 5

Agora, integramos em termos de -15 integral u^-2 , du = -15 ( u^-1-1 ) + C = 15 cdot 1u + C = 15u + C :

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original 15u + C = 15(3 - 5x) + C substituindo por :

Resposta

integral 1(3-5x)^2 , dx = 15(3 - 5x) + C

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