No exercícios de (15) a (23), calcule os limites das sequências (ak) :
18) lim (kk+1)^k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite da sequência . Esse exercício está relacionado ao estudo dos limites de sequências, mais especificamente usando propriedades de exponenciais e logaritmos. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões com potências e aplicar o conceito de limite quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão kk+1 = 11 + 1k . Podemos reescrever a fração dentro da potência da seguinte forma:
(kk+1)^k = (11 + 1k)^k
Isso nos dá:

Passo 3

Para facilitar o cálculo do limite, vamos utilizar o logaritmo natural. Sabemos que:
ln((11 + 1k)^k) = k cdot ln(11 + 1k)
Simplificando o logaritmo:
k cdot ln(11 + 1k) = -k cdot ln(1 + 1k)

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite de ln(1 + 1k) approx 1k quando -k cdot ln(1 + 1k) approx -k cdot 1k = -1 tende ao infinito. Sabemos que, para valores pequenos de , . Aplicando isso:
Então:
Portanto, o limite do logaritmo é .

Passo 5

Como encontramos que:
limk to infty ln((kk+1)^k) = -1
Podemos agora voltar à expressão original usando a função exponencial, já que se limk to infty (kk+1)^k = e^-1 , então :

Resposta

O limite da sequência quando tende ao infinito é .

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