No exercícios de (15) a (23), calcule os limites das sequências :
18) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite da sequência . Esse exercício está relacionado ao estudo dos limites de sequências, mais especificamente usando propriedades de exponenciais e logaritmos. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões com potências e aplicar o conceito de limite quando tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão . Podemos reescrever a fração dentro da potência da seguinte forma:
Isso nos dá:
Passo 3
Para facilitar o cálculo do limite, vamos utilizar o logaritmo natural. Sabemos que:
Simplificando o logaritmo:
k cdot ln(11 + 1k) = -k cdot ln(1 + 1k)
Passo 4
Agora, vamos analisar o limite de ln(1 + 1k) approx 1k quando -k cdot ln(1 + 1k) approx -k cdot 1k = -1 tende ao infinito. Sabemos que, para valores pequenos de , . Aplicando isso:
Então:
Portanto, o limite do logaritmo é .
Passo 5
Como encontramos que:
limk to infty ln((kk+1)^k) = -1
Podemos agora voltar à expressão original usando a função exponencial, já que se limk to infty (kk+1)^k = e^-1 , então :
Resposta
O limite da sequência quando tende ao infinito é .