Despeja-se areia em um monte com formato cônico a uma taxa de
. Este modelo físico tem a principal característica de que a altura do monte e o raio da base possuem a relação
. Calcule com que velocidade a altura do monte está crescendo quando: a)
; b)
;
Passo 1
Ok, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos uma pilha de areia que tem a forma de um cone. A areia está sendo despejada nessa pilha a uma taxa de
. A relação entre a altura
da pilha e o raio da base
é dada por
. Nosso objetivo é descobrir com que velocidade a altura da pilha está aumentando quando
e quando
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas relacionadas à taxa de variação de volumes em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar a fórmula do volume de um cone, que é:
Aqui,
é o volume,
é o raio da base e
é a altura do cone. Como o raio
está relacionado à altura
pela equação
, podemos substituir
na fórmula do volume para que
fique apenas em termos de
.
Passo 3
Vamos substituir
na fórmula do volume:
Simplificando a expressão:
Agora, temos
expressa apenas em termos de
.
Passo 4
Queremos encontrar a taxa de variação da altura
em relação ao tempo
, ou seja,
. Sabemos que a taxa de variação do volume em relação ao tempo é
. Para encontrar
, vamos derivar a expressão de
em relação ao tempo
:
Usaremos a regra do produto e a regra da cadeia para essa derivada.
Passo 5
Derivando
em relação a
:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Substituindo de volta:
Fatorando
e
:
Passo 6
Agora, isolamos
:
Sabemos que
, então substituímos:
Passo 7
Agora, vamos calcular
para os dois casos:
a) Quando
:
Calculando numericamente:
b) Quando
:
Calculando numericamente:
Resposta
a) Quando
, a altura da pilha está aumentando a aproximadamente
.
b) Quando
, a altura da pilha está aumentando a aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas primeiras das seguintes funções
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No exercícios de (15) a (23), calcule os limites das sequências
:
18) .
18)
16
Sejam e
. Resolva o PVI constituído pela equação diferencial
Sejam
e pela condição inicial
.