Despeja-se areia em um monte com formato cônico a uma taxa de 10 m^3/min. Este modelo físico tem a principal característica de que a altura do monte e o raio da base possuem a relação r = e^(h + 1). Calcule com que velocidade a altura do monte está crescendo quando: a) h = 3 m; b) h = 4 m;

Passo 1

Ok, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos uma pilha de areia que tem a forma de um cone. A areia está sendo despejada nessa pilha a uma taxa de . A relação entre a altura da pilha e o raio da base é dada por . Nosso objetivo é descobrir com que velocidade a altura da pilha está aumentando quando e quando . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas relacionadas à taxa de variação de volumes em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar a fórmula do volume de um cone, que é:
Aqui, é o volume, é o raio da base e é a altura do cone. Como o raio está relacionado à altura pela equação , podemos substituir na fórmula do volume para que fique apenas em termos de .

Passo 3

Vamos substituir na fórmula do volume:
Simplificando a expressão:
Agora, temos expressa apenas em termos de .

Passo 4

Queremos encontrar a taxa de variação da altura em relação ao tempo , ou seja, . Sabemos que a taxa de variação do volume em relação ao tempo é . Para encontrar , vamos derivar a expressão de em relação ao tempo :
Usaremos a regra do produto e a regra da cadeia para essa derivada.

Passo 5

Derivando em relação a :
Calculando a derivada de em relação a :
Substituindo de volta:
Fatorando e :

Passo 6

Agora, isolamos :
Sabemos que , então substituímos:

Passo 7

Agora, vamos calcular para os dois casos:
a) Quando :
Calculando numericamente:
b) Quando :
Calculando numericamente:

Resposta

a) Quando , a altura da pilha está aumentando a aproximadamente .
b) Quando , a altura da pilha está aumentando a aproximadamente .

Exercícios relacionados

Calcule as derivadas primeiras das seguintes funções w(x) = e^(raiz(x + 1)) * sen(raiz(x + 1))
Calcule as derivadas primeiras das seguintes funções g(x) = cotg(x-1) / (x^2 - 1)
No exercícios de (15) a (23), calcule os limites das sequências (ak) :
18) lim (kk+1)^k.
16
Sejam y = y(x) e x > 0. Resolva o PVI constituído pela equação diferencial
d y/d x - 1/x y = 2/x^2 y^4
e pela condição inicial y(1) = 1 / 2.