Nos Exercícios de 1 a 20, ache os números críticos da função dada. f(t)=t^5 / 3-3 t^2 / 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A questão pede para encontrar os números críticos da função dada, que é . Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre derivadas e como elas ajudam a identificar pontos importantes de uma função, como máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função e encontrar os valores de onde essa derivada é zero ou não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são números críticos. Eles são os valores de no domínio da função onde a derivada é igual a zero (pontos onde a inclinação da função é horizontal) ou onde a derivada não existe (pontos onde a função pode ter um comportamento interessante, como um pico ou uma rampa íngreme).

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada da função f'(t) = 53t^5/3 - 1 - 3 cdot 23t^2/3 - 1 . Usamos as regras de derivação das potências para isso. A regra geral é que a derivada de f'(t) = 53t^2/3 - 2t^-1/3 é .
Para , a derivada será:

Passo 4

Agora, queremos encontrar os valores de 53t^2/3 - 2t^-1/3 = 0 onde 53t^2/3 cdot t^1/3 - 2t^-1/3 cdot t^1/3 = 0 ou onde 53t^(2/3 + 1/3) - 2t^0 = 0 não está definida.
Primeiro, vamos resolver 53t^1 - 2 = 0 :
53t - 2 = 0
Vamos multiplicar ambos os lados da equação por 53t = 2 para eliminar os expoentes negativos:
t = 2 cdot 35
t = 65
Agora, isolamos :

Passo 5

Além disso, precisamos verificar onde a derivada f'(t) = 53t^2/3 - 2t^-1/3 não está definida. Olhando para nossa expressão de :
Perceba que implica uma divisão por , o que não está definida quando . Portanto, também é um número crítico, desde que esteja no domínio da função original.
Vamos verificar o domínio de . A expressão está definida para todos os números reais, inclusive para . Então, é um ponto crítico.

Resposta

Os números críticos da função são e .

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