Determine os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ções) dada(s).
d.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo da função sujeita às restrições e . Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica para otimizar funções com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o método dos multiplicadores de Lagrange. A ideia é criar uma nova função, chamada função de Lagrange ( ), que combina a função que queremos otimizar com as restrições, cada uma multiplicada por um multiplicador ( ).
Então, nossa função de Lagrange fica assim:

Passo 3

Agora, vamos derivar a função de Lagrange em relação a cada variável ( ) e igualar as derivadas a zero. Isso nos dará um sistema de equações para resolver.
Vamos lá:
  1. Derivando em relação a :
  1. Derivando em relação a :
  1. Derivando em relação a :
Além disso, temos as próprias restrições:

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações que montamos.
Primeiro, da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
E substituindo na terceira equação:
Agora, da equação (1) e (2), podemos dividir:

Passo 5

Com , vamos substituir na primeira restrição :
Agora, substituímos na segunda restrição :
Então, temos dois casos:

Passo 6

Agora, vamos calcular os valores da função em cada um dos pontos encontrados.
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

O valor máximo da função é e o valor mínimo é .

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