Determine os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ções) dada(s).
d. f(x, y, z)=3 x-y-3 z ; x+y-z=0 ; x^2+2 z^2=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo da função sujeita às restrições e . Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica para otimizar funções com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o método dos multiplicadores de Lagrange. A ideia é criar uma nova função, chamada função de Lagrange ( L(x, y, z, lambda, mu) = 3x - y - 3z + lambda (x + y - z) + mu (x^2 + 2z^2 - 1) ), que combina a função que queremos otimizar com as restrições, cada uma multiplicada por um multiplicador ( ).
Então, nossa função de Lagrange fica assim:

Passo 3

Agora, vamos derivar a função de Lagrange em relação a cada variável ( partial Lpartial x = 3 + lambda + 2mu x = 0 ) e igualar as derivadas a zero. Isso nos dará um sistema de equações para resolver.
Vamos lá:
  1. Derivando em relação a partial Lpartial y = -1 + lambda = 0 :
partial Lpartial z = -3 - lambda + 4mu z = 0
  1. Derivando em relação a x + y - z = 0 :
x^2 + 2z^2 = 1
  1. Derivando em relação a :
Além disso, temos as próprias restrições:

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações que montamos.
Primeiro, da segunda equação:
-1 + lambda = 0 Rightarrow lambda = 1
Substituindo 3 + 1 + 2mu x = 0 Rightarrow 4 + 2mu x = 0 Rightarrow mu x = -2 (1) na primeira equação:
-3 - 1 + 4mu z = 0 Rightarrow -4 + 4mu z = 0 Rightarrow mu z = 1 (2)
E substituindo mu xmu z = -21 Rightarrow xz = -2 Rightarrow x = -2z na terceira equação:
Agora, da equação (1) e (2), podemos dividir:

Passo 5

Com -2z + y - z = 0 Rightarrow y = 3z , vamos substituir na primeira restrição (-2z)^2 + 2z^2 = 1 Rightarrow 4z^2 + 2z^2 = 1 Rightarrow 6z^2 = 1 Rightarrow z^2 = 16 Rightarrow z = pm 1raiz6 :
Agora, substituímos na segunda restrição :
Então, temos dois casos:

Passo 6

Agora, vamos calcular os valores da função f = 3 ( -raiz63 ) - raiz62 - 3 ( 1raiz6 ) = -raiz6 - raiz62 - 3raiz6 = -5raiz63 em cada um dos pontos encontrados.
  1. Para f = 3 ( raiz63 ) - ( -raiz62 ) - 3 ( -1raiz6 ) = raiz6 + raiz62 + 3raiz6 = 5raiz63 :
  1. Para :

Resposta

O valor máximo da função é e o valor mínimo é .

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