Determine os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ções) dada(s).
d.
d.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo da função
sujeita às restrições
e
. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica para otimizar funções com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o método dos multiplicadores de Lagrange. A ideia é criar uma nova função, chamada função de Lagrange (
), que combina a função que queremos otimizar com as restrições, cada uma multiplicada por um multiplicador (
).
Então, nossa função de Lagrange fica assim:
Passo 3
Agora, vamos derivar a função de Lagrange em relação a cada variável (
) e igualar as derivadas a zero. Isso nos dará um sistema de equações para resolver.
Vamos lá:
- Derivando em relação a
:
- Derivando em relação a
:
- Derivando em relação a
:
Além disso, temos as próprias restrições:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações que montamos.
Primeiro, da segunda equação:
Substituindo
na primeira equação:
E substituindo
na terceira equação:
Agora, da equação (1) e (2), podemos dividir:
Passo 5
Com
, vamos substituir na primeira restrição
:
Agora, substituímos
na segunda restrição
:
Então, temos dois casos:
Passo 6
Agora, vamos calcular os valores da função
em cada um dos pontos encontrados.
- Para
:
- Para
:
Resposta
O valor máximo da função é
e o valor mínimo é
.