Dos experimentos abaixo, verifique quais são binomiais e justifique. Quando possível, identifique os parâmetros
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a) De uma sala com 5 mulheres e 3 homens, selecionar aleatoriamente e com reposição, três pessoas. A variável aleatória de interesse é o número de mulheres selecionadas na amostra.
a) De uma sala com 5 mulheres e 3 homens, selecionar aleatoriamente e com reposição, três pessoas. A variável aleatória de interesse é o número de mulheres selecionadas na amostra.
Passo 1
Vamos analisar o problema: temos uma sala com 5 mulheres e 3 homens, totalizando 8 pessoas. Selecionamos, de forma aleatória e com reposição, três pessoas. A variável que queremos observar é o número de mulheres selecionadas na amostra. O conteúdo envolvido aqui é a Distribuição Binomial, e precisamos verificar se este experimento se encaixa nas características de uma distribuição binomial. Se sim, também identificaremos os parâmetros $ n $ (número de tentativas) e $ p $ (probabilidade de sucesso em cada tentativa).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição binomial. Um experimento segue uma distribuição binomial se satisfaz as seguintes condições:
- Número fixo de tentativas ($ n $): O experimento é repetido um número específico de vezes.
- Dois resultados possíveis: Em cada tentativa, há apenas dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso.
- Independência entre as tentativas: O resultado de uma tentativa não afeta o resultado das demais.
- Probabilidade constante de sucesso ($ p $): A probabilidade de sucesso é a mesma em cada tentativa.
Vamos verificar se nosso experimento atende a essas condições.
Passo 3
- Número fixo de tentativas ($ n $): Estamos selecionando três pessoas, ou seja, $ n = 3 $. Isso satisfaz a primeira condição.
- Dois resultados possíveis: Em cada seleção, a pessoa pode ser uma mulher (sucesso) ou um homem (fracasso). Portanto, há dois resultados possíveis em cada tentativa.
- Independência entre as tentativas: Como a seleção é feita com reposição, a cada seleção a composição da sala volta a ser a mesma (5 mulheres e 3 homens). Isso garante que o resultado de uma seleção não afeta as demais, mantendo a independência.
- Probabilidade constante de sucesso ($ p $): A probabilidade de selecionar uma mulher em cada tentativa é $ \frac{5}{8} $, pois há 5 mulheres em um total de 8 pessoas. Como a seleção é com reposição, essa probabilidade permanece constante em cada tentativa.
Passo 4
Todas as condições para uma distribuição binomial estão satisfeitas no nosso experimento. Portanto, podemos concluir que o número de mulheres selecionadas segue uma distribuição binomial.
Resposta
Sim, o experimento é binomial com parâmetros $ n = 3 $ (número de seleções) e $ p = \frac{5}{8} $ (probabilidade de selecionar uma mulher em cada tentativa).