Pesquisas indicaram que 75 % dos eleitores de uma cidade são alfabetizados. Entre 16 eleitores dessa cidade, determine a probabilidade de:
c) 3 ou mais serem analfabetos;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos 16 eleitores, e sabemos que 75% deles são alfabetizados. Isso significa que 25% são analfabetos. Queremos encontrar a probabilidade de que 3 ou mais desses 16 eleitores sejam analfabetos.
Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que é útil para calcular probabilidades em situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possibilidades de resultado (sucesso ou falha). No nosso caso:
  • Número de tentativas (n): 16 eleitores
  • Probabilidade de sucesso §: ser analfabeto, que é 25% ou 0,25

Passo 2

A Distribuição Binomial nos diz que a probabilidade de exatamente $ k $ sucessos em $ n $ tentativas é dada pela fórmula:
k
Onde:
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, ou combinações de $ n $ itens tomados $ k $ de cada vez.
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso.
  • $ (1 - p) $ é a probabilidade de falha.

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de 3 ou mais eleitores serem analfabetos, ou seja, $ P(X \geq 3) $. Isso é igual a 1 menos a probabilidade de terem menos de 3 analfabetos:
P(X >= 3)

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades:
  1. Para $ X = 0 $:
X = 0
  1. Para $ X = 1 $:
P(X = 0) = binom160 cdot (0.25)^0 cdot (0.75)^16 = 1 cdot 1 cdot 0.75^16 approx 0.0100
  1. Para $ X = 2 $:
X = 1

Passo 5

Agora, somamos essas probabilidades:
P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) approx 0.0100 + 0.0532 + 0.1344 = 0.1976

Passo 6

Finalmente, subtraímos esse valor de 1 para encontrar a probabilidade de ter 3 ou mais analfabetos:
P(X >= 3) = 1 - 0.1976 = 0.8024

Resposta

A probabilidade de que 3 ou mais dos 16 eleitores sejam analfabetos é aproximadamente 80,24%.

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