Expresse a diferencial do volume
para um gás ideal e mostre que se trata de uma expressão diferencial exata. Mostre também que a expressão diferencial do trabalho expansivo reversível
não é uma expressão diferencial exata.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com a diferencial do volume $ dV $ de um gás ideal e mostrar que essa expressão é uma diferencial exata. Depois, temos que provar que a expressão para o trabalho reversível $ \mathrm{d} w = -P \mathrm{~d} V $ não é uma diferencial exata. Então, vamos usar conceitos de cálculo diferencial aplicados à termodinâmica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma diferencial exata. Em cálculo, uma expressão diferencial $ M , \mathrm{d}x + N , \mathrm{d}y $ é exata se existir uma função $ F(x, y) $ tal que $ M = \frac{\partial F}{\partial x} $ e $ N = \frac{\partial F}{\partial y} $. Isso significa que podemos integrar essa expressão para obter uma função potencial $ F $.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a diferencial do volume dada:
Para um gás ideal, sabemos que a equação de estado é $ PV = nRT $. Vamos usar essa relação para expressar $ V $ em termos de $ T $ e $ P $:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
- Derivada parcial de $ V $ em relação a $ T $ mantendo $ P $ constante:
- Derivada parcial de $ V $ em relação a $ P $ mantendo $ T $ constante:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na expressão da diferencial do volume:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 6
Agora, para verificar se $ \mathrm{d} V $ é uma diferencial exata, vamos identificar $ M $ e $ N $:
Precisamos verificar se $ \frac{\partial M}{\partial P} = \frac{\partial N}{\partial T} $.
Calculando $ \frac{\partial M}{\partial P} $:
Calculando $ \frac{\partial N}{\partial T} $:
Como $ \frac{\partial M}{\partial P} = \frac{\partial N}{\partial T} $, a diferencial $ \mathrm{d} V $ é exata.
Passo 7
Agora, vamos analisar a expressão para o trabalho reversível:
Aqui, identificamos $ M = -P $ e $ N = 0 $ (já que não há termo em $ \mathrm{d} P $).
Para ser uma diferencial exata, precisaríamos que $ \frac{\partial M}{\partial P} = \frac{\partial N}{\partial T} $.
Calculando $ \frac{\partial M}{\partial P} $:
Calculando $ \frac{\partial N}{\partial T} $:
Como $ -1 \neq 0 $, a diferencial $ \mathrm{d} w $ não é exata.
Resposta
Concluímos que a diferencial do volume $ \mathrm{d} V $ para um gás ideal é uma expressão diferencial exata, enquanto a expressão para o trabalho reversível $ \mathrm{d} w = -P \mathrm{~d} V $ não é uma diferencial exata.