Expresse a diferencial do volume
d V=(partial Vpartial T)P d T+(partial Vpartial P)T d P
para um gás ideal e mostre que se trata de uma expressão diferencial exata. Mostre também que a expressão diferencial do trabalho expansivo reversível d w=-P d V não é uma expressão diferencial exata.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com a diferencial do volume $ dV $ de um gás ideal e mostrar que essa expressão é uma diferencial exata. Depois, temos que provar que a expressão para o trabalho reversível $ \mathrm{d} w = -P \mathrm{~d} V $ não é uma diferencial exata. Então, vamos usar conceitos de cálculo diferencial aplicados à termodinâmica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma diferencial exata. Em cálculo, uma expressão diferencial $ M , \mathrm{d}x + N , \mathrm{d}y $ é exata se existir uma função $ F(x, y) $ tal que $ M = \frac{\partial F}{\partial x} $ e $ N = \frac{\partial F}{\partial y} $. Isso significa que podemos integrar essa expressão para obter uma função potencial $ F $.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a diferencial do volume dada:
d V = ( partial Vpartial T )P d T + ( partial Vpartial P )T d P
Para um gás ideal, sabemos que a equação de estado é $ PV = nRT $. Vamos usar essa relação para expressar $ V $ em termos de $ T $ e $ P $:
PV = nRT

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
  1. Derivada parcial de $ V $ em relação a $ T $ mantendo $ P $ constante:
V
  1. Derivada parcial de $ V $ em relação a $ P $ mantendo $ T $ constante:
T

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão da diferencial do volume:
d V = nRP d T - VP d P
Isso pode ser reescrito como:
d V = nRP d T - nRTP^2 d P

Passo 6

Agora, para verificar se $ \mathrm{d} V $ é uma diferencial exata, vamos identificar $ M $ e $ N $:
d V
Precisamos verificar se $ \frac{\partial M}{\partial P} = \frac{\partial N}{\partial T} $.
Calculando $ \frac{\partial M}{\partial P} $:
M
Calculando $ \frac{\partial N}{\partial T} $:
N
Como $ \frac{\partial M}{\partial P} = \frac{\partial N}{\partial T} $, a diferencial $ \mathrm{d} V $ é exata.

Passo 7

Agora, vamos analisar a expressão para o trabalho reversível:
d w = -P d V
Aqui, identificamos $ M = -P $ e $ N = 0 $ (já que não há termo em $ \mathrm{d} P $).
Para ser uma diferencial exata, precisaríamos que $ \frac{\partial M}{\partial P} = \frac{\partial N}{\partial T} $.
Calculando $ \frac{\partial M}{\partial P} $:
M = -P
Calculando $ \frac{\partial N}{\partial T} $:
N = 0
Como $ -1 \neq 0 $, a diferencial $ \mathrm{d} w $ não é exata.

Resposta

Concluímos que a diferencial do volume $ \mathrm{d} V $ para um gás ideal é uma expressão diferencial exata, enquanto a expressão para o trabalho reversível $ \mathrm{d} w = -P \mathrm{~d} V $ não é uma diferencial exata.

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