Se
, então prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que, se
tende a
quando
vai para infinito, então a soma infinita dos termos
de
até
é igual a
. Vamos usar conceitos de séries infinitas e limites para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série infinita. Uma série é a soma de termos de uma sequência. Quando somamos infinitos termos, chamamos de série infinita. No nosso caso, a série é
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para os primeiros termos dessa série para ver se conseguimos identificar um padrão. Vamos escrever os primeiros termos:
Passo 4
Veja que ao somar esses termos, muitos deles se cancelam. Por exemplo,
do primeiro termo cancela com
do segundo termo,
do segundo cancela com
do terceiro, e assim por diante. Isso é o que chamamos de série telescópica.
Passo 5
Após o cancelamento, o que sobra é apenas o primeiro termo
e o último termo que não se cancela, que seria
conforme avançamos a série. Então, a soma parcial até o termo
fica:
Passo 6
Para encontrar a soma da série infinita, devemos calcular o limite da soma parcial
quando
tende ao infinito:
Passo 7
Sabemos que
tende a
quando
vai para infinito. Portanto,
também tende a
quando
tende a infinito:
Passo 8
Substituindo esse limite na expressão da soma parcial, temos:
Resposta
Portanto,
.
Exercícios relacionados
A função
e sua singularidade em
:
|
0 | 0.01 | 0.1 | 0.5 | 1 | 2 | 3 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
|
não definida | 100 | 10 | 2 | 1 | 0.5 |
|
(b) Fazer uma tabela análoga para valores negativos de
;
O custo da matéria prima (pão e outros insumos) para a fabricação de um certo tipo de sanduíche custa 3 reais por sanduíche, sem levar em conta a aquisição de uma sanduicheira, que custa 40 reais. O custo médio de fabricação de um certo número de sanduíches é igual ao custo de produção dividido pela quantidade de sanduíches:
(b) Expresse matematicamente o custo médio de produção em função do número de sanduíches produzidos e faça o gráfico da função custo médio;
(b) Expresse matematicamente o custo médio de produção em função do número de sanduíches produzidos
(44)
Prove que:
(e)
(e)