Se , então prove que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que, se tende a quando vai para infinito, então a soma infinita dos termos de até é igual a . Vamos usar conceitos de séries infinitas e limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série infinita. Uma série é a soma de termos de uma sequência. Quando somamos infinitos termos, chamamos de série infinita. No nosso caso, a série é .

Passo 3

Agora, vamos olhar para os primeiros termos dessa série para ver se conseguimos identificar um padrão. Vamos escrever os primeiros termos:

Passo 4

Veja que ao somar esses termos, muitos deles se cancelam. Por exemplo, do primeiro termo cancela com do segundo termo, do segundo cancela com do terceiro, e assim por diante. Isso é o que chamamos de série telescópica.

Passo 5

Após o cancelamento, o que sobra é apenas o primeiro termo e o último termo que não se cancela, que seria conforme avançamos a série. Então, a soma parcial até o termo fica:

Passo 6

Para encontrar a soma da série infinita, devemos calcular o limite da soma parcial quando tende ao infinito:

Passo 7

Sabemos que tende a quando vai para infinito. Portanto, também tende a quando tende a infinito:

Passo 8

Substituindo esse limite na expressão da soma parcial, temos:

Resposta

Portanto, .

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A função e sua singularidade em :
0 0.01 0.1 0.5 1 2 3
não definida 100 10 2 1 0.5
(b) Fazer uma tabela análoga para valores negativos de ;
O custo da matéria prima (pão e outros insumos) para a fabricação de um certo tipo de sanduíche custa 3 reais por sanduíche, sem levar em conta a aquisição de uma sanduicheira, que custa 40 reais. O custo médio de fabricação de um certo número de sanduíches é igual ao custo de produção dividido pela quantidade de sanduíches:
(b) Expresse matematicamente o custo médio de produção em função do número de sanduíches produzidos e faça o gráfico da função custo médio;
(44)
Prove que:
(e)