Se
e
, encontre
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a seguinte equação:
E sabemos que
. Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada de
em
, ou seja,
.
Para isso, vamos precisar usar diferenciação implícita, que é uma técnica usada quando a função que queremos derivar está “misturada” com outras funções na equação, dificultando a diferenciação direta.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que, ao derivar
, a gente usa a notação
.
A derivada de uma constante é zero, então o lado direito fica zero.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada do lado esquerdo. A gente tem duas partes:
- A derivada de
é . - Para
, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Então:
Calculando cada parte:
-
- Para
, usamos a regra da cadeia:
Então, substituindo:
Passo 4
Voltando à nossa equação diferenciada:
Agora, vamos isolar
. Agrupando os termos que têm
:
Fatorando
:
Então, isolando
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar
. Sabemos que
. Vamos substituir
e
na expressão que encontramos para
:
Calculando o numerador e o denominador:
- Numerador:
- Denominador:
Então: