Se f(x) + x^2 * (f(x))^3 - 10 e f(1) = 2, encontre f'(1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a seguinte equação:
E sabemos que . Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada de em , ou seja, .
Para isso, vamos precisar usar diferenciação implícita, que é uma técnica usada quando a função que queremos derivar está “misturada” com outras funções na equação, dificultando a diferenciação direta.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que, ao derivar , a gente usa a notação .
A derivada de uma constante é zero, então o lado direito fica zero.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada do lado esquerdo. A gente tem duas partes:
  1. A derivada de é .
  2. Para , vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Então:
Calculando cada parte:
  • Para , usamos a regra da cadeia:
Então, substituindo:

Passo 4

Voltando à nossa equação diferenciada:
Agora, vamos isolar . Agrupando os termos que têm :
Fatorando :
Então, isolando :

Passo 5

Agora, vamos encontrar . Sabemos que . Vamos substituir e na expressão que encontramos para :
Calculando o numerador e o denominador:
  • Numerador:
  • Denominador:
Então:

Resposta

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