.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função . Aqui, estamos lidando com uma função que envolve o valor absoluto, então vamos precisar entender como o valor absoluto funciona e como ele afeta a função. Para resolver isso, vamos precisar dividir a função em partes, dependendo dos valores de , e analisar cada caso separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o valor absoluto. O valor absoluto de um número, representado por , é a distância desse número até zero na reta numérica, sempre resultando em um valor não negativo. Isso significa que:
Isso nos ajuda a dividir a função em dois casos, dependendo do valor de .

Passo 3

Agora, vamos dividir a análise em dois casos com base na expressão dentro do valor absoluto, :
Caso 1:
Isso ocorre quando . Neste caso, . Portanto, a função fica:
Caso 2:
Isso ocorre quando . Aqui, . Então, a função fica:

Passo 4

Vamos agora derivar para cada caso. A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando em cada ponto.
Derivada no Caso 1 ( ):
Usando a regra da potência, a derivada é:
Derivada no Caso 2 ( ):
A derivada aqui também utiliza a regra da potência:

Passo 5

Agora, precisamos verificar o que acontece exatamente em , já que é onde a função muda de comportamento.
Vamos calcular o limite da derivada quando se aproxima de 1 pela direita e pela esquerda.
Lado Direito ( ):
Lado Esquerdo ( ):
Como os limites são iguais, a derivada em é 0.

Resposta

A derivada da função é:
E em , a derivada é 0.

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