.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função
. Aqui, estamos lidando com uma função que envolve o valor absoluto, então vamos precisar entender como o valor absoluto funciona e como ele afeta a função. Para resolver isso, vamos precisar dividir a função em partes, dependendo dos valores de
, e analisar cada caso separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o valor absoluto. O valor absoluto de um número, representado por
, é a distância desse número até zero na reta numérica, sempre resultando em um valor não negativo. Isso significa que:
Isso nos ajuda a dividir a função
em dois casos, dependendo do valor de
.
Passo 3
Agora, vamos dividir a análise em dois casos com base na expressão dentro do valor absoluto,
:
Caso 1:
Isso ocorre quando . Neste caso,
. Portanto, a função fica:
Isso ocorre quando
Caso 2:
Isso ocorre quando . Aqui,
. Então, a função fica:
Isso ocorre quando
Passo 4
Vamos agora derivar
para cada caso. A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando em cada ponto.
Derivada no Caso 1 (
):
Usando a regra da potência, a derivada é:
Derivada no Caso 2 (
):
A derivada aqui também utiliza a regra da potência:
Passo 5
Agora, precisamos verificar o que acontece exatamente em
, já que é onde a função muda de comportamento.
Vamos calcular o limite da derivada quando
se aproxima de 1 pela direita e pela esquerda.
Lado Direito (
):
Lado Esquerdo (
):
Como os limites são iguais, a derivada em
é 0.
Resposta
A derivada da função
é:
E em
, a derivada é 0.
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e
, ent
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1