Uma fábrica de automóveis anuncia que seus carros consomem, em média, mu litros por 100 quilômetros, com desvio padrão sigma=1,2. Uma revista desconfia que o consumo é maior e resolve verificar essas afirmações. Para tal, analisou 35 automóveis dessa marca, obtendo consumo médio de 10,2.
(21.3) Para mu0=9,8, qual o valor de alpha tal que leve à aceitação de H0 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala que uma fábrica de carros afirma que, em média, seus carros consomem mu litros por 100 quilômetros, com desvio padrão sigma = 1,2. A revista acha que esse consumo é maior e decidiu investigar. Eles analisaram 35 carros dessa marca e descobriram que o consumo médio foi de 10,2 litros. A pergunta é: para mu0 = 9,8, qual o valor de alpha que nos leva a aceitar a hipótese nula H0?
Aqui, estamos lidando com teste de hipóteses na estatística, mais especificamente com um teste Z porque conhecemos o desvio padrão da população.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossas hipóteses:
  • Hipótese Nula ( H0): mu = 9,8 litros (a média anunciada).
  • Hipótese Alternativa ( Ha): mu > 9,8 litros (a revista suspeita que o consumo é maior).
Como a revista suspeita que o consumo é maior, nosso teste é unilateral à direita.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o erro padrão da média. A fórmula para o erro padrão ( E) é:
E = sigmaraizn
Onde:
  • sigma = 1,2 (desvio padrão)
  • n = 35 (tamanho da amostra)
Vamos calcular:
E = 1,2raiz35 approx 1,25,916 approx 0,203

Passo 4

Com o erro padrão, calculamos o valor Z usando a fórmula:
Z = barX - mu0E
Onde:
  • barX = 10,2 (média da amostra)
  • mu0 = 9,8 (média anunciada)
  • E approx 0,203
Substituindo os valores:
Z = 10,2 - 9,80,203 approx 0,40,203 approx 1,974

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a probabilidade cumulativa associada a esse valor de Z. Isso nos dará o valor de alpha que corresponde à probabilidade de aceitar H0.
Utilizando uma tabela Z ou uma calculadora de estatística, encontramos que:
P(Z <= 1,974) approx 0,975

Resposta

O valor de alpha que leva à aceitação de H0 é aproximadamente 0,975.

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