Uma fábrica tem uma probabilidade de 0,02 de que uma peça tenha defeito. Se forem produzidas 100 peças, qual a probabilidade de que menos de 3 peças tenham defeito?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala que uma fábrica produz peças com uma chance de 2% de serem defeituosas. Queremos saber qual é a probabilidade de, ao produzir 100 peças, menos de 3 delas serem defeituosas. Vamos usar a Distribuição Binomial, que é ótima para calcular probabilidades de eventos que têm dois resultados possíveis (como defeito ou não) em um número fixo de tentativas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os parâmetros da distribuição binomial aqui. Temos:
  • $ n = 100 $ (número de peças produzidas)
  • $ p = 0.02 $ (probabilidade de uma peça ser defeituosa)
Queremos calcular a probabilidade de ter menos de 3 peças defeituosas, ou seja, 0, 1 ou 2 defeitos.

Passo 3

A fórmula da distribuição binomial é:
P(X = k) = binomnk cdot p^k cdot (1-p)^n-k
Onde:
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher $ k $ defeitos em $ n $ peças.
  • $ p^k $ é a probabilidade de ter exatamente $ k $ defeitos.
  • $ (1-p)^{n-k} $ é a probabilidade das outras $ n-k $ peças não serem defeituosas.

Passo 4

Vamos calcular $ P(X = 0) $, $ P(X = 1) $ e $ P(X = 2) $ usando a fórmula acima.
Para $ k = 0 $:
P(X = 0)
Para $ k = 1 $:
P(X = 1)
Para $ k = 2 $:
P(X = 2)

Passo 5

Agora, somamos essas probabilidades para obter a probabilidade total de ter menos de 3 defeitos:
P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) approx 0.1326 + 0.2702 + 0.2751 = 0.6779

Resposta

A probabilidade de que menos de 3 peças tenham defeito é aproximadamente 67,79%.

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