Uma fábrica tem uma probabilidade de 0,02 de que uma peça tenha defeito. Se forem produzidas 100 peças, qual a probabilidade de que menos de 3 peças tenham defeito?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala que uma fábrica produz peças com uma chance de 2% de serem defeituosas. Queremos saber qual é a probabilidade de, ao produzir 100 peças, menos de 3 delas serem defeituosas. Vamos usar a Distribuição Binomial, que é ótima para calcular probabilidades de eventos que têm dois resultados possíveis (como defeito ou não) em um número fixo de tentativas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os parâmetros da distribuição binomial aqui. Temos:
- $ n = 100 $ (número de peças produzidas)
- $ p = 0.02 $ (probabilidade de uma peça ser defeituosa)
Queremos calcular a probabilidade de ter menos de 3 peças defeituosas, ou seja, 0, 1 ou 2 defeitos.
Passo 3
A fórmula da distribuição binomial é:
Onde:
- $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher $ k $ defeitos em $ n $ peças.
- $ p^k $ é a probabilidade de ter exatamente $ k $ defeitos.
- $ (1-p)^{n-k} $ é a probabilidade das outras $ n-k $ peças não serem defeituosas.
Passo 4
Vamos calcular $ P(X = 0) $, $ P(X = 1) $ e $ P(X = 2) $ usando a fórmula acima.
Para $ k = 0 $:
Para $ k = 1 $:
Para $ k = 2 $:
Passo 5
Agora, somamos essas probabilidades para obter a probabilidade total de ter menos de 3 defeitos:
Resposta
A probabilidade de que menos de 3 peças tenham defeito é aproximadamente 67,79%.