Um hospital registra em média 10 pacientes por hora. Qual é a probabilidade de que, em uma hora, o hospital receba menos de 8 pacientes?

Passo 1

Beleza! A questão diz que um hospital recebe, em média, 10 pacientes por hora. A gente precisa descobrir qual é a probabilidade de, em uma hora, o hospital receber menos de 8 pacientes. Para resolver isso, vamos usar a distribuição de Poisson, que é ótima pra contar quantos eventos acontecem em um intervalo fixo de tempo quando eles acontecem de forma independente e com uma média conhecida.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da distribuição de Poisson. A probabilidade de acontecer exatamente $ k $ eventos é dada por:
k
Aqui, $ \lambda $ é a média de eventos (no caso, 10 pacientes por hora) e $ e $ é a base dos logaritmos naturais, que é aproximadamente 2,71828.

Passo 3

Queremos a probabilidade de receber menos de 8 pacientes. Isso significa que vamos somar as probabilidades de receber 0, 1, 2, …, até 7 pacientes. Então, vamos calcular $ P(k) $ para cada $ k $ de 0 a 7 e somar todos esses valores.

Passo 4

Vamos calcular cada probabilidade individualmente usando a fórmula da Poisson:
Para $ k = 0 $:
k = 0
Para $ k = 1 $:
P(0) = e^-10 cdot 10^00! = e^-10 approx 0,0000454
Para $ k = 2 $:
k = 1
E assim por diante, até $ k = 7 $.

Passo 5

Depois de calcular todas as probabilidades individuais de $ k = 0 $ a $ k = 7 $, vamos somar esses valores para obter a probabilidade total de receber menos de 8 pacientes em uma hora.

Passo 6

Somando todas as probabilidades:
P(X < 8) = P(0) + P(1) + cdots + P(7) approx 0,0000454 + 0,0004539 + 0,0022698 + dots + 0,0101 approx 0,0513

Resposta

A probabilidade de o hospital receber menos de 8 pacientes em uma hora é aproximadamente 5,13%.

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