Um fabricante de automóveis defende que o novo modelo que vai ser lançado no próximo mês gasta em média 9,7 litros aos 100 km, em circuito urbano, com desvio padrão de 1 litro. Admita que o consumo segue uma distribuição Normal.
b) Qual a deverá ser a dimensão da amostra para obter, com pelo menos 90 % probabilidade, um gasto médio inferior a 10 litros.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o consumo de combustível de um carro novo que está para ser lançado. O fabricante diz que, em média, o carro gasta 9,7 litros a cada 100 km no trânsito urbano, com um desvio padrão de 1 litro. A gente sabe que esse consumo segue uma distribuição Normal.
Para resolver a parte b) do exercício, precisamos descobrir qual o tamanho da amostra (n) que devemos pegar para ter, com pelo menos 90% de probabilidade, que a média do consumo seja inferior a 10 litros. Vamos usar conceitos de estatística, como distribuição Normal, intervalo de confiança e cálculo de tamanho de amostra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter 90% de probabilidade de que a média do consumo seja inferior a 10 litros. Isso quer dizer que queremos que a média amostral (X̄) seja menor que 10 litros com uma probabilidade de 90%.
Sabemos que a média amostral segue uma distribuição Normal com média igual à média populacional (μ = 9,7 litros) e desvio padrão igual ao desvio padrão da população dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra (σ/√n). Ou seja:
X̄ sim N(mu, sigmaraizn)

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar n tal que:
P(X̄ < 10) >= 0,90
Podemos padronizar essa expressão usando o Z-score, que é dado por:
Z = X̄ - musigma/raizn
Queremos que:
P(Z < 10 - 9,71/raizn) >= 0,90
Simplificando o numerador:
10 - 9,7 = 0,3
Então:
P(Z < 0,31/raizn) >= 0,90
P(Z < 0,3 times raizn) >= 0,90

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor de Z que corresponde a uma probabilidade cumulativa de 90% na distribuição Normal padrão. Consultando a tabela Z ou usando uma calculadora, encontramos que:
Z0,90 approx 1,2816
Portanto, queremos que:
0,3 times raizn >= 1,2816

Passo 5

Vamos resolver para n:
0,3 times raizn >= 1,2816
Dividindo ambos os lados por 0,3:
raizn >= 1,28160,3
raizn >= 4,272
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
n >= (4,272)^2
n >= 18,24

Resposta

Portanto, a dimensão mínima da amostra necessária é de 19 veículos para garantir, com pelo menos 90% de probabilidade, que o gasto médio seja inferior a 10 litros.

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