Provinha 6 - 12/11/2024
Entrega: 13/11
Foi feita uma enquete com uma amostra de tamanho n=500 de moradores de uma grande cidade em relação à construção de um novo terminal de ônibus urbano no centro da cidade. Se mais de 85 % dos entrevistados forem a favor, o projeto irá para a câmara municipal para votação. Se a verdadeira proporção desconhecida da população dos moradores que são a favor é p=0,82, qual é a probabilidade de que o projeto vá para votação na câmara?

Passo 1

Resumo do Enunciado:
Temos uma pesquisa com 500 moradores sobre a construção de um novo terminal de ônibus no centro da cidade. Se mais de 85% dos entrevistados estiverem a favor, o projeto vai para a câmara municipal para votação. Sabemos que a verdadeira proporção de moradores a favor é de 82% (p = 0,82). Queremos descobrir qual é a probabilidade de que mais de 85% dos entrevistados estejam a favor, ou seja, que o projeto vá para votação.
Matéria Envolvida:
  • Probabilidade
  • Distribuição Binomial
  • Aproximação pela Distribuição Normal
O que vamos precisar:
  • Entender como funciona a distribuição binomial.
  • Saber como aproximar a distribuição binomial pela normal quando as condições são adequadas.
  • Aplicar a correção de continuidade.
  • Calcular escores z e usar a tabela da distribuição normal.

Passo 2

Entendendo a Distribuição Binomial:
Estamos lidando com uma variável aleatória que segue uma distribuição binomial porque temos uma quantidade fixa de ensaios (n = 500 moradores), cada ensaio tem dois resultados possíveis (a favor ou contra), e a probabilidade de sucesso (estar a favor) é constante (p = 0,82).

Passo 3

Definindo o Evento de Interesse:
Queremos saber a probabilidade de que mais de 85% dos 500 entrevistados estejam a favor. Calculando 85% de 500:
0,85 times 500 = 425
Então, buscamos , onde é o número de moradores a favor.

Passo 4

Aproximação pela Distribuição Normal:
Como o número de ensaios é grande (n = 500) e p não está muito próximo de 0 ou 1, podemos aproximar a distribuição binomial por uma distribuição normal. Isso simplifica os cálculos.

Passo 5

Calculando a Média e o Desvio Padrão:
Para a distribuição normal, calculamos:
mu = n times p = 500 times 0,82 = 410
sigma = raizn times p times (1 - p) = raiz500 times 0,82 times 0,18 approx 8,59

Passo 6

Aplicando a Correção de Continuidade:
Como estamos aproximando uma discreta (binomial) por uma contínua (normal), aplicamos a correção de continuidade. Queremos P(X > 425) approx P(X > 425,5) , então usamos 425,5:

Passo 7

Calculando o Escore Z:
z = 425,5 - 4108,59 approx 15,58,59 approx 1,80

Passo 8

Encontrando a Probabilidade na Tabela Z:
Consultando a tabela da distribuição normal, encontramos . Isso corresponde a aproximadamente 0,0359 ou 3,59%.

Resposta

A probabilidade de que o projeto vá para votação na câmara é de aproximadamente 3,6%.

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