Provinha 6 - 12/11/2024
Entrega: 13/11
Foi feita uma enquete com uma amostra de tamanho
de moradores de uma grande cidade em relação à construção de um novo terminal de ônibus urbano no centro da cidade. Se mais de
dos entrevistados forem a favor, o projeto irá para a câmara municipal para votação. Se a verdadeira proporção desconhecida da população dos moradores que são a favor é
, qual é a probabilidade de que o projeto vá para votação na câmara?
Entrega: 13/11
Foi feita uma enquete com uma amostra de tamanho
Passo 1
Resumo do Enunciado:
Temos uma pesquisa com 500 moradores sobre a construção de um novo terminal de ônibus no centro da cidade. Se mais de 85% dos entrevistados estiverem a favor, o projeto vai para a câmara municipal para votação. Sabemos que a verdadeira proporção de moradores a favor é de 82% (p = 0,82). Queremos descobrir qual é a probabilidade de que mais de 85% dos entrevistados estejam a favor, ou seja, que o projeto vá para votação.
Temos uma pesquisa com 500 moradores sobre a construção de um novo terminal de ônibus no centro da cidade. Se mais de 85% dos entrevistados estiverem a favor, o projeto vai para a câmara municipal para votação. Sabemos que a verdadeira proporção de moradores a favor é de 82% (p = 0,82). Queremos descobrir qual é a probabilidade de que mais de 85% dos entrevistados estejam a favor, ou seja, que o projeto vá para votação.
Matéria Envolvida:
- Probabilidade
- Distribuição Binomial
- Aproximação pela Distribuição Normal
O que vamos precisar:
- Entender como funciona a distribuição binomial.
- Saber como aproximar a distribuição binomial pela normal quando as condições são adequadas.
- Aplicar a correção de continuidade.
- Calcular escores z e usar a tabela da distribuição normal.
Passo 2
Entendendo a Distribuição Binomial:
Estamos lidando com uma variável aleatória que segue uma distribuição binomial porque temos uma quantidade fixa de ensaios (n = 500 moradores), cada ensaio tem dois resultados possíveis (a favor ou contra), e a probabilidade de sucesso (estar a favor) é constante (p = 0,82).
Estamos lidando com uma variável aleatória que segue uma distribuição binomial porque temos uma quantidade fixa de ensaios (n = 500 moradores), cada ensaio tem dois resultados possíveis (a favor ou contra), e a probabilidade de sucesso (estar a favor) é constante (p = 0,82).
Passo 3
Definindo o Evento de Interesse:
Queremos saber a probabilidade de que mais de 85% dos 500 entrevistados estejam a favor. Calculando 85% de 500:
Queremos saber a probabilidade de que mais de 85% dos 500 entrevistados estejam a favor. Calculando 85% de 500:
Então, buscamos
, onde
é o número de moradores a favor.
Passo 4
Aproximação pela Distribuição Normal:
Como o número de ensaios é grande (n = 500) e p não está muito próximo de 0 ou 1, podemos aproximar a distribuição binomial por uma distribuição normal. Isso simplifica os cálculos.
Como o número de ensaios é grande (n = 500) e p não está muito próximo de 0 ou 1, podemos aproximar a distribuição binomial por uma distribuição normal. Isso simplifica os cálculos.
Passo 5
Calculando a Média e o Desvio Padrão:
Para a distribuição normal, calculamos:
Para a distribuição normal, calculamos:
Passo 6
Aplicando a Correção de Continuidade:
Como estamos aproximando uma discreta (binomial) por uma contínua (normal), aplicamos a correção de continuidade. Queremos , então usamos 425,5:
Como estamos aproximando uma discreta (binomial) por uma contínua (normal), aplicamos a correção de continuidade. Queremos
Passo 7
Calculando o Escore Z:
Passo 8
Encontrando a Probabilidade na Tabela Z:
Consultando a tabela da distribuição normal, encontramos . Isso corresponde a aproximadamente 0,0359 ou 3,59%.
Consultando a tabela da distribuição normal, encontramos
Resposta
A probabilidade de que o projeto vá para votação na câmara é de aproximadamente 3,6%.