Um fabricante de eletrodomésticos está propondo um projeto de um forno autolimpante que envolve uma janela composta separando a cavidade do forno do ambiente. A janela composta consiste de dois polímeros de alta temperatura, A e B, de espessura LA=2 LB e kA=0,15 W /(m K) e kB=0,08 W /(m K). A temperatura de operação da parede do forno e do ar Tp e TA, q é 400^circ C. A temperatura do ar ambiente é Tinfty=25^circ C. Os coeficientes internos de transferência de calor por convecção ( hi ) e radiação ( hr ), assim como o coeficiente de convecção externo (he) são de aproximadamente 25 W /(m^2 K) cada. Qual o valor mínimo da espessura da janela L= LA+LB para que a temperatura da superfície externa não ultrapasse 50^circ C ?
Resp. LA=0,0418 m ; LB=0,0209 m ; LA+LB=0,0626 m

Passo 1

Vamos resolver um problema de transferência de calor envolvendo uma janela composta por dois polímeros, A e B. O objetivo é determinar a espessura mínima total da janela para que a temperatura na superfície externa não ultrapasse 50°C. Para isso, vamos precisar aplicar conceitos de condução de calor em materiais compostos e transferência de calor por convecção e radiação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados fornecidos:
  • Espessura dos polímeros:
  • Condutividades térmicas:
  • Temperaturas:
    • Temperatura da parede do forno:
    • Temperatura externa desejada:
  • Coeficientes de transferência de calor:
    • Convecção interna e radiação:
    • Convecção externa:
  • Temperatura máxima permitida na superfície externa:

Passo 3

Vamos converter todas as temperaturas para Kelvin, pois isso facilita os c��lculos em termodinâmica:
Tp = 400 + 273,15 = 673,15 , K
Tinfty = 25 + 273,15 = 298,15 , K
Texterna = 50 + 273,15 = 323,15 , K

Passo 4

Agora, precisamos calcular a resistência térmica total da janela composta. A resistência térmica por condução para cada material é dada por:
R = Lk A
Como estamos interessados nas espessuras e não na área Rtotal = LAkA + LBkB , podemos considerar para simplificar.
Para os dois materiais em série, a resistência total é a soma das resistências individuais:

Passo 5

Sabemos que Rtotal = 2x0,15 + x0,08 = 2x0,15 + x0,08 . Vamos chamar de , então . Substituindo na expressão da resistência total:

Passo 6

Simplificando a expressão:
Rtotal = 2x0,15 + x0,08 = 2x0,15 + x0,08 = 2x cdot 10015 + x cdot 1008 = 200x15 + 100x8
Agora, convertendo para números decimais:
Rtotal approx 200x15 + 100x8 = 13,333x + 12,5x = 25,833x

Passo 7

A taxa de transferência de calor Q = Tp - TexternaRtotal através da janela é a mesma em todos os componentes. A diferença de temperatura através das resistências é:
Rexterno = 1he A
Mas também precisamos considerar a transferência de calor por convecção e radiação na superfície externa. A resistência térmica total do lado externo é dada por:
Rexterno = 125 = 0,04 , K/W
Como :

Passo 8

A resistência total do sistema é a soma das resistências internas (condução) e externa (convecção e radiação):
Rsistema = Rtotal + Rexterno = 25,833x + 0,04
A taxa de transferência de calor também pode ser expressa pela diferença entre a temperatura da parede e a temperatura externa desejada:
Q = Tp - TexternaRsistema = 673,15 - 323,1525,833x + 0,04 = 35025,833x + 0,04

Passo 9

Queremos que a temperatura externa não ultrapasse 50°C, ou seja, Q = 35025,833x + 0,04 deve ser tal que 25,833x + 0,04 = 350Q . Para encontrar a espessura mínima 25,833x + 0,04 = 350Q , igualamos a taxa de transferência de calor necessária:
Para minimizar , resolvemos para :
Como não temos específico, consideramos que a resistência deve ser suficiente para manter a temperatura exterior em 50°C. Assim, reorganizamos para encontrar :
Assumindo que seja determinado pela condição térmica desejada, resolvemos para .

Passo 10

Ao resolver a equação para LA = 0,0418 , m , chegamos aos valores:
LB = 0,0209 , m
L = LA + LB = 0,0626 , m

Resposta

A espessura mínima da janela é , , totalizando .

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