Um fabricante de eletrodomésticos está propondo um projeto de um forno autolimpante que envolve uma janela composta separando a cavidade do forno do ambiente. A janela composta consiste de dois polímeros de alta temperatura, A e B, de espessura
e
e
. A temperatura de operação da parede do forno e do ar
é
. A temperatura do ar ambiente é
. Os coeficientes internos de transferência de calor por convecção (
) e radiação (
), assim como o coeficiente de convecção externo (he) são de aproximadamente
cada. Qual o valor mínimo da espessura da janela
para que a temperatura da superfície externa não ultrapasse
?
Resp.
Resp.
Passo 1
Vamos resolver um problema de transferência de calor envolvendo uma janela composta por dois polímeros, A e B. O objetivo é determinar a espessura mínima total da janela para que a temperatura na superfície externa não ultrapasse 50°C. Para isso, vamos precisar aplicar conceitos de condução de calor em materiais compostos e transferência de calor por convecção e radiação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados fornecidos:
- Espessura dos polímeros:
-
- Condutividades térmicas:
-
- Temperaturas:
- Temperatura da parede do forno:
- Temperatura externa desejada:
- Temperatura da parede do forno:
- Coeficientes de transferência de calor:
- Convecção interna e radiação:
- Convecção externa:
- Convecção interna e radiação:
- Temperatura máxima permitida na superfície externa:
Passo 3
Vamos converter todas as temperaturas para Kelvin, pois isso facilita os c��lculos em termodinâmica:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a resistência térmica total da janela composta. A resistência térmica por condução para cada material é dada por:
Como estamos interessados nas espessuras e não na área
, podemos considerar
para simplificar.
Para os dois materiais em série, a resistência total
é a soma das resistências individuais:
Passo 5
Sabemos que
. Vamos chamar
de
, então
. Substituindo na expressão da resistência total:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Agora, convertendo para números decimais:
Passo 7
A taxa de transferência de calor
através da janela é a mesma em todos os componentes. A diferença de temperatura através das resistências é:
Mas também precisamos considerar a transferência de calor por convecção e radiação na superfície externa. A resistência térmica total do lado externo é dada por:
Como
:
Passo 8
A resistência total do sistema é a soma das resistências internas (condução) e externa (convecção e radiação):
A taxa de transferência de calor também pode ser expressa pela diferença entre a temperatura da parede e a temperatura externa desejada:
Passo 9
Queremos que a temperatura externa não ultrapasse 50°C, ou seja,
deve ser tal que
. Para encontrar a espessura mínima
, igualamos a taxa de transferência de calor necessária:
Para minimizar
, resolvemos para
:
Como não temos
específico, consideramos que a resistência deve ser suficiente para manter a temperatura exterior em 50°C. Assim, reorganizamos para encontrar
:
Assumindo que
seja determinado pela condição térmica desejada, resolvemos para
.
Passo 10
Ao resolver a equação para
, chegamos aos valores:
Resposta
A espessura mínima da janela é
,
, totalizando
.