Um fabricante de máquinas de cortar grama está tentando determinar o desvio padrão da vida de um de seus modelos de máquinas. Para fazê-lo, ele seleciona aleatoriamente 12 máquinas que foram vendidas anos atrás e descobre que o desvio padrão da amostra é 3,25 anos. Suponha que a amostra tenha sido retirada de uma população normalmente distribuida. Construa os intervalos de confiança para a variância e o desvio padrão da população. Use um nível de confiança de
. (Valor 0,75 )
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde um fabricante de máquinas de cortar grama quer descobrir o desvio padrão da vida útil de um modelo específico. Para isso, ele pegou uma amostra aleatória de 12 máquinas vendidas há alguns anos e descobriu que o desvio padrão dessa amostra é de 3,25 anos. O objetivo é construir intervalos de confiança para a variância e para o desvio padrão da população, usando um nível de confiança de 99%. Vamos precisar usar conceitos de estatística inferencial, mais especificamente sobre distribuição qui-quadrado para intervalos de variância e desvio padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, quando a população segue uma distribuição normal, podemos usar a distribuição qui-quadrado (χ²) para construir intervalos de confiança para a variância (σ²). A fórmula para o intervalo de confiança de 99% para a variância é:
Onde:
- $ n $ é o tamanho da amostra,
- $ s^2 $ é a variância da amostra,
- $ \chi^2_{1-\alpha/2} $ e $ \chi^2_{\alpha/2} $ são os valores críticos da distribuição qui-quadrado para os graus de liberdade $ df = n-1 $.
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos:
- $ n = 12 $,
- $ s = 3,25 $ anos, então $ s^2 = 3,25^2 = 10,5625 $ anos²,
- Nível de confiança de 99%, então $ \alpha = 0,01 $,
- Graus de liberdade $ df = 12 - 1 = 11 $.
Precisamos encontrar os valores críticos $ \chi^2_{0,995} $ e $ \chi^2_{0,005} $ para $ df = 11 $. Consultando uma tabela de distribuição qui-quadrado ou usando uma calculadora, temos aproximadamente:
- $ \chi^2_{0,995} \approx 3,816 $,
- $ \chi^2_{0,005} \approx 27,877 $.
Passo 4
Agora, vamos calcular o intervalo de confiança para a variância:
Calculando os limites inferior e superior:
Então, o intervalo de confiança para a variância é aproximadamente (4,167 anos², 30,432 anos²).
Passo 5
Para obter o intervalo de confiança para o desvio padrão da população, basta tirar a raiz quadrada dos limites do intervalo da variância:
Resposta
O intervalo de confiança de 99% para a variância da vida útil das máquinas é aproximadamente entre 4,167 anos² e 30,432 anos². Já o intervalo de confiança para o desvio padrão é aproximadamente entre 2,041 anos e 5,517 anos.