No fichário de um hospital estão arquivados os prontuários de 20 pacientes que deram entrada no Pronto Socorro apresentando algum problema cardíaco. Destes, 5 sofreram infarto. Retirando-se uma amostra ao acaso de 3 destes prontuários, qual a probabilidade de que dois deles sejam de pacientes que sofreram infarto?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos 20 prontuários de pacientes com problemas cardíacos, dos quais 5 tiveram infarto. Queremos saber a probabilidade de, ao escolhermos 3 prontuários aleatoriamente, exatamente 2 serem de quem teve infarto. Vamos usar o conteúdo de Probabilidade e Combinações para resolver isso. Precisaremos calcular combinações para determinar as possíveis escolhas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o total de maneiras que podemos escolher 3 prontuários dentre os 20 disponíveis. Isso é uma combinação, já que a ordem não importa. A fórmula da combinação é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Aplicando aqui:
C(20, 3) = 20!3!(20 - 3)! = 20 times 19 times 183 times 2 times 1 = 1140
Então, temos 1140 maneiras de escolher 3 prontuários no total.

Passo 3

Agora, queremos que exatamente 2 dos 3 prontuários escolhidos sejam de pacientes que tiveram infarto. Temos 5 prontuários de infarto e 15 que não tiveram. Vamos calcular quantas maneiras podemos escolher 2 prontuários de infarto e 1 que não teve.
Primeiro, as maneiras de escolher 2 prontuários de infarto:
C(5, 2) = 5!2!(5 - 2)! = 5 times 42 times 1 = 10
Depois, as maneiras de escolher 1 prontuário que não teve infarto:
C(15, 1) = 15!1!(15 - 1)! = 15

Passo 4

Agora, multiplicamos as duas combinações para encontrar o número total de maneiras de escolher 2 prontuários de infarto e 1 que não teve:
10 times 15 = 150
Então, existem 150 maneiras favoráveis para o nosso evento.

Passo 5

Finalmente, para achar a probabilidade desejada, dividimos o número de maneiras favoráveis pelo número total de maneiras possíveis:
P = 1501140 = 15114 = 538 approx 0,1316

Resposta

A probabilidade de que dois dos três prontuários escolhidos sejam de pacientes que sofreram infarto é , ou aproximadamente 13,16%.

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