Estabeleça a expressão da função de distribuição acumulada, F, e esboce seu gráfico.

Passo 1

Vamos resumir o que a gente precisa fazer: você quer encontrar a função de distribuição acumulada (CDF), que a gente costuma chamar de , e também desenhar o gráfico dessa função. A CDF é uma ferramenta importante na estatística e probabilidade porque ela mostra a probabilidade de uma variável aleatória ser menor ou igual a um certo valor. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a CDF e saber a função de probabilidade associada ao problema, seja ela discreta ou contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da função de distribuição acumulada. Para uma variável aleatória F(x) = P(X <= x) , a CDF é definida como:
Isso significa que nos dá a probabilidade de que a variável seja menor ou igual a um valor específico .

Passo 3

Agora, precisamos saber qual tipo de distribuição estamos lidando: discreta ou contínua. Vou explicar os dois casos:
  1. Distribuição Discreta: Se F(x) = sumt <= x P(X = t) é discreta, ou seja, assume valores específicos, a CDF é a soma das probabilidades até F(x) = integral-infty^x f(t) , dt :
  1. Distribuição Contínua: Se é contínua, a CDF é a integral da função de densidade de probabilidade desde menos infinito até :

Passo 4

Com a definição clara, vamos supor que temos uma distribuição contínua com uma função de densidade específica. Por exemplo, imagine que a função de densidade f(x) = 2x & se 0 <= x <= 1 0 & caso contrário seja:
F(x) = integral-infty^x f(t) , dt á
Para encontrar a CDF F(x) = 0 & se x < 0 integral0^x 2t , dt = t^2 g|0^x = x^2 & se 0 <= x <= 1 1 & se x > 1 , vamos integrar de menos infinito até :
Como para e , a integral fica:

Resposta

A função de distribuição acumulada F(x) = 0 & se x < 0 x^2 & se 0 <= x <= 1 1 & se x > 1 é dada por:
O gráfico de começa em 0 para , aumenta quadraticamente até atingir 1 em , e permanece igual a 1 para .

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