Um átomo de hidrogênio é colocado em um campo elétrico (dependente do tempo) . Calcule os quatro elementos da matriz da perturbação entre o estado fundamental ( ) e os primeiros estados excitados (quadruplamente degenerado) ( ). Demonstre também que para os cinco estados. Nota: nesse caso, há apenas uma integral para ser resolvida se você explorar a singularidade em relação a ; apenas um dos estados é ‘acessível’ a partir do estado fundamental de uma perturbação desse tipo, e, portanto, o sistema funciona como uma configuração de dois estados - supondo que as transições para os estados mais excitados possam ser ignoradas.

Passo 1

Vamos entender o problema. Temos um átomo de hidrogênio colocado em um campo elétrico que depende do tempo, representado por . Nosso objetivo é calcular os quatro elementos da matriz de perturbação , onde , entre o estado fundamental ( ) e os primeiros estados excitados ( ), que são quadrupletamente degenerados. Além disso, precisamos mostrar que para os cinco estados. Para resolver isso, vamos usar a teoria de perturbações em mecânica quântica, especialmente considerando a degeneração dos estados excitados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a matriz de perturbação é dada por:
onde e são os estados do sistema sem a perturbação. No nosso caso, , onde é a carga do elétron, é a amplitude do campo elétrico, e é a coordenada espacial na direção do campo.

Passo 3

Sabemos que no estado fundamental ( ) e nos estados excitados ( ), as funções de onda são descritas pelas funções de Hidrogênio. Para simplificar, consideramos apenas a direção por causa da orientação do campo elétrico. A integral que precisamos resolver é:
Vamos calcular essa integral utilizando as funções de onda específicas para e .

Passo 4

Calculando a integral , percebemos que apenas um dos estados será “acessível” a partir do estado fundamental devido à simetria do problema. Isso ocorre porque apenas determinadas transições são permitidas pelas regras de seleção, que dependem do momento dipolar.

Passo 5

Depois de calcular a integral, encontramos que será não nulo apenas para aquela transição permitida entre e um dos estados . Para os demais estados, a integral resulta em zero devido à simetria das funções de onda.

Passo 6

Agora, vamos analisar . Isso significa calcular a matriz de perturbação para o mesmo estado, ou seja:
Como é uma função ímpar e as funções de onda dos estados não possuem momento dipolar próprio no estado estacionário sem perturbação, essa integral será zero para todos os cinco estados considerados (1 estado para e 4 estados para ).

Resposta

A matriz de perturbação possui apenas um elemento não nulo entre o estado fundamental e um dos estados excitados . Além disso, para todos os cinco estados considerados.

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