Um átomo de hidrogênio é colocado em um campo elétrico (dependente do tempo)
. Calcule os quatro elementos da matriz
da perturbação
entre o estado fundamental (
) e os primeiros estados excitados (quadruplamente degenerado) (
). Demonstre também que
para os cinco estados. Nota: nesse caso, há apenas uma integral para ser resolvida se você explorar a singularidade em relação a
; apenas um dos estados
é ‘acessível’ a partir do estado fundamental de uma perturbação desse tipo, e, portanto, o sistema funciona como uma configuração de dois estados - supondo que as transições para os estados mais excitados possam ser ignoradas.
Passo 1
Vamos entender o problema. Temos um átomo de hidrogênio colocado em um campo elétrico que depende do tempo, representado por
. Nosso objetivo é calcular os quatro elementos da matriz de perturbação
, onde
, entre o estado fundamental (
) e os primeiros estados excitados (
), que são quadrupletamente degenerados. Além disso, precisamos mostrar que
para os cinco estados. Para resolver isso, vamos usar a teoria de perturbações em mecânica quântica, especialmente considerando a degeneração dos estados excitados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a matriz de perturbação
é dada por:
onde
e
são os estados do sistema sem a perturbação. No nosso caso,
, onde
é a carga do elétron,
é a amplitude do campo elétrico, e
é a coordenada espacial na direção do campo.
Passo 3
Sabemos que no estado fundamental (
) e nos estados excitados (
), as funções de onda são descritas pelas funções de Hidrogênio. Para simplificar, consideramos apenas a direção
por causa da orientação do campo elétrico. A integral que precisamos resolver é:
Vamos calcular essa integral utilizando as funções de onda específicas para
e
.
Passo 4
Calculando a integral
, percebemos que apenas um dos estados
será “acessível” a partir do estado fundamental devido à simetria do problema. Isso ocorre porque apenas determinadas transições são permitidas pelas regras de seleção, que dependem do momento dipolar.
Passo 5
Depois de calcular a integral, encontramos que
será não nulo apenas para aquela transição permitida entre
e um dos estados
. Para os demais estados, a integral resulta em zero devido à simetria das funções de onda.
Passo 6
Agora, vamos analisar
. Isso significa calcular a matriz de perturbação para o mesmo estado, ou seja:
Como
é uma função ímpar e as funções de onda dos estados não possuem momento dipolar próprio no estado estacionário sem perturbação, essa integral será zero para todos os cinco estados considerados (1 estado para
e 4 estados para
).
Resposta
A matriz de perturbação
possui apenas um elemento não nulo entre o estado fundamental e um dos estados excitados
. Além disso,
para todos os cinco estados considerados.