Fixado um sistema de coordenadas cartesiano, escreva a equação e esboce o gráfico: da hipérbole de vértices
e focos
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para escrever a equação de uma hipérbole com vértices em
e focos em
. Vamos precisar entender a conceito de hipérbole e suas propriedades, como vértices, focos e a relação entre eles para encontrar os parâmetros da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação padrão da hipérbole com eixo transverso no eixo x (horizontal):
Aqui,
é a distância do centro até cada vértice e
está relacionado à abertura da hipérbole.
Passo 3
No enunciado, os vértices estão em
, o que significa que
.
Passo 4
Os focos estão em
, então a distância do centro até cada foco é
.
Passo 5
Sabemos que, para hipérboles, a relação entre
,
e
é dada por:
Vamos usar essa fórmula para encontrar
.
Passo 6
Substituindo os valores que já temos:
Passo 7
Agora que temos
e
, podemos substituir esses valores na equação padrão da hipérbole:
Passo 8
Para esboçar o gráfico:
- Marque os vértices em
. - Marque os focos em
. - Desenhe as assíntotas, que são linhas que a hipérbole se aproxima. As equações das assíntotas são:
- Desenhe as duas partes da hipérbole que se abrem para a direita e para a esquerda ao redor dos vértices.
Resposta
A equação da hipérbole é:
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;
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