Fixado um sistema de coordenadas cartesiano, escreva a equação e esboce o gráfico: da hipérbole de vértices e focos ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para escrever a equação de uma hipérbole com vértices em e focos em . Vamos precisar entender a conceito de hipérbole e suas propriedades, como vértices, focos e a relação entre eles para encontrar os parâmetros da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação padrão da hipérbole com eixo transverso no eixo x (horizontal):
Aqui, é a distância do centro até cada vértice e está relacionado à abertura da hipérbole.

Passo 3

No enunciado, os vértices estão em , o que significa que .

Passo 4

Os focos estão em , então a distância do centro até cada foco é .

Passo 5

Sabemos que, para hipérboles, a relação entre , e é dada por:
Vamos usar essa fórmula para encontrar .

Passo 6

Substituindo os valores que já temos:

Passo 7

Agora que temos e , podemos substituir esses valores na equação padrão da hipérbole:

Passo 8

Para esboçar o gráfico:
  1. Marque os vértices em .
  2. Marque os focos em .
  3. Desenhe as assíntotas, que são linhas que a hipérbole se aproxima. As equações das assíntotas são:
  1. Desenhe as duas partes da hipérbole que se abrem para a direita e para a esquerda ao redor dos vértices.

Resposta

A equação da hipérbole é:

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Fixado um sistema de coordenadas cartesiano, escreva a equação e esboce o gráfico: da elipse de focos e dois vértices ;
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