Fixado um sistema de coordenadas cartesiano, escreva a equação e esboce o gráfico: da hipérbole de vértices ( pm 2,0) e focos ( pm 3,0);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para escrever a equação de uma hipérbole com vértices em (pm 2, 0) e focos em (pm 3, 0). Vamos precisar entender a conceito de hipérbole e suas propriedades, como vértices, focos e a relação entre eles para encontrar os parâmetros da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação padrão da hipérbole com eixo transverso no eixo x (horizontal):
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
Aqui, é a distância do centro até cada vértice e está relacionado à abertura da hipérbole.

Passo 3

No enunciado, os vértices estão em (pm 2, 0), o que significa que .

Passo 4

Os focos estão em (pm 3, 0), então a distância do centro até cada foco é .

Passo 5

Sabemos que, para hipérboles, a relação entre c^2 = a^2 + b^2 , e é dada por:
Vamos usar essa fórmula para encontrar .

Passo 6

Substituindo os valores que já temos:
3^2 = 2^2 + b^2 9 = 4 + b^2 b^2 = 9 - 4 b^2 = 5

Passo 7

Agora que temos x^24 - y^25 = 1 e , podemos substituir esses valores na equação padrão da hipérbole:

Passo 8

Para esboçar o gráfico:
  1. Marque os vértices em (pm 2, 0).
  2. Marque os focos em (pm 3, 0).
  3. Desenhe as assíntotas, que são linhas que a hipérbole se aproxima. As equações das assíntotas são:
y = pm bax = pm raiz52x
  1. Desenhe as duas partes da hipérbole que se abrem para a direita e para a esquerda ao redor dos vértices.

Resposta

A equação da hipérbole é:
x^24 - y^25 = 1

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