Quais foram as considerações feitas por Lord Rayleigh e Sir Jeans para obter a relação de Rayleigh-Jeans para a radiância espectral de um corpo negro? Faça a dedução desta relação.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Você quer saber quais foram as considerações que Lord Rayleigh e Sir Jeans fizeram para chegar à Lei de Rayleigh-Jeans da radiância espectral de um corpo negro. Além disso, precisamos deduzir essa relação. Para resolver isso, vamos precisar conhecer alguns conceitos básicos de radiância espectral, corpo negro e a teoria clássica da física aplicada por Rayleigh e Jeans.

Passo 2

Vamos começar definindo o que é um corpo negro. Um corpo negro é um objeto teórico que absorve toda a radiação eletromagnética que incide sobre ele, sem refletir ou transmitir nenhuma. Além disso, ele emite radiação de forma ideal, conhecida como radiação de corpo negro, que depende apenas da temperatura do corpo.

Passo 3

A radiância espectral de um corpo negro descreve a quantidade de energia emitida por unidade de área, por unidade de tempo, por unidade de frequência, em uma direção específica. Nossa meta é encontrar uma expressão para que relacione a radiância espectral , a frequência , e a temperatura .

Passo 4

Rayleigh e Jeans utilizaram a teoria clássica da física, especialmente a hipótese da energia equiparticionada. Segundo essa teoria, a energia total em um sistema em equilíbrio térmico é distribuída igualmente entre seus graus de liberdade. Para a radiação eletromagnética dentro de uma cavidade, isso implica que cada modo de vibração da radiação teria uma certa quantidade de energia associada.

Passo 5

A abordagem deles começa considerando a cavidade como um conjunto de modos de campo eletromagnético. Cada modo pode ser pensado como uma onda de frequência . De acordo com a teoria clássica, cada modo de vibração possui uma energia média , onde é a constante de Boltzmann e é a temperatura.

Passo 6

Agora, precisamos calcular quantos modos de vibração existem por unidade de frequência por unidade de volume. Em três dimensões, o número de modos por unidade de frequência por unidade de volume n(nu) = 8 pi nu^2c^3 é dado por:
onde é a velocidade da luz.

Passo 7

Multiplicando o número de modos u(nu, T) = n(nu) lang<= E rang<= = 8 pi nu^2c^3 cdot kB T pela energia por modo , obtemos a densidade de energia total por unidade de volume:

Passo 8

Para obter a radiância espectral B(nu, T) = c4 pi u(nu, T) , que é a energia por unidade de tempo, por unidade de área, por unidade de frequência, e por unidade de solid angle, associamos a densidade de energia à radiância usando a relação:
B(nu, T) = c4 pi cdot 8 pi nu^2c^3 cdot kB T = 8 pi nu^2 kB Tc^3
Substituindo :

Resposta

A relação de Rayleigh-Jeans para a radiância espectral de um corpo negro é dada por:
B(nu, T) = 8 pi nu^2 kB Tc^3
Essa equação mostra que a radiância espectral aumenta proporcionalmente ao quadrado da frequência e à temperatura , inversamente proporcional ao cubo da velocidade da luz . No entanto, essa abordagem clássica leva à catástrofe ultravioleta, pois prevê que a radiância se torna infinita para altas frequências, o que foi posteriormente resolvido pela teoria quântica de Planck.

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