Foram instaladas lâmpadas de uma certa marca. O tempo de duração segue distribuição exponencial de média 1500 h . Se três lâmpadas foram instaladas, qual a probabilidade de que após 1200 h seja necessário substituir 2 delas?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um problema que envolve estatística e probabilidade, mais especificamente a distribuição exponencial. O cenário é o seguinte: instalaram três lâmpadas que duram, em média, 1500 horas cada. Queremos descobrir qual a probabilidade de que, depois de 1200 horas, a gente precise substituir duas dessas lâmpadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a distribuição exponencial funciona e como calcular probabilidades para eventos específicos com múltiplos itens.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente, como a vida útil de lâmpadas. A média dessa distribuição é o tempo esperado até o evento ocorrer, que, no nosso caso, é 1500 horas. A fórmula da função de densidade da distribuição exponencial é:
f(t) = lambda e^-lambda t
onde lambda é a taxa de falha, que é o inverso da média. Então, lambda = 11500 por hora.

Passo 3

Agora, queremos saber a probabilidade de uma lâmpada ter falhado até as 1200 horas. Para isso, usamos a função de distribuição acumulada (CDF) da distribuição exponencial:
F(t) = 1 - e^-lambda t
Substituindo lambda e t = 1200:
F(1200) = 1 - e^-11500 times 1200
Vamos calcular isso:
F(1200) = 1 - e^-0.8 approx 1 - 0.4493 = 0.5507
Então, cada lâmpada tem aproximadamente 55,07% de chance de ter falhado até as 1200 horas.

Passo 4

Como temos três lâmpadas independentes, queremos a probabilidade de exatamente duas delas terem falhado até as 1200 horas. Isso é um caso de probabilidade binomial, onde temos um número fixo de experimentos (lâmpadas), cada um com dois possíveis resultados (falhar ou não), e a probabilidade de sucesso (falhar) é a mesma para cada experimento.
A fórmula para a probabilidade de exatamente k sucessos em n tentativas é:
P(k) = C(n, k) times [F(t)]^k times [1 - F(t)]^n - k
Onde C(n, k) é a combinação de n itens tomados k a k.

Passo 5

Aplicando os valores ao nosso caso:
  • n = 3 (três lâmpadas)
  • k = 2 (duas falhas)
  • F(t) = 0.5507
Primeiro, calculamos a combinação:
C(3, 2) = 3!2!(3-2)! = 3
Então, a probabilidade é:
P(2) = 3 times (0.5507)^2 times (1 - 0.5507)^1
Calculando passo a passo:
  1. (0.5507)^2 approx 0.3033
  2. 1 - 0.5507 = 0.4493
  3. Multiplicando tudo:
P(2) = 3 times 0.3033 times 0.4493 approx 3 times 0.1362 approx 0.4086

Resposta

A probabilidade de que, após 1200 horas, seja necessário substituir 2 das 3 lâmpadas é aproximadamente 40,86%.

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