Foram instaladas lâmpadas de uma certa marca. O tempo de duração segue distribuição exponencial de média 1500 h . Se três lâmpadas foram instaladas, qual a probabilidade de que após 1200 h seja necessário substituir 2 delas?
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um problema que envolve estatística e probabilidade, mais especificamente a distribuição exponencial. O cenário é o seguinte: instalaram três lâmpadas que duram, em média, 1500 horas cada. Queremos descobrir qual a probabilidade de que, depois de 1200 horas, a gente precise substituir duas dessas lâmpadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a distribuição exponencial funciona e como calcular probabilidades para eventos específicos com múltiplos itens.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente, como a vida útil de lâmpadas. A média dessa distribuição é o tempo esperado até o evento ocorrer, que, no nosso caso, é 1500 horas. A fórmula da função de densidade da distribuição exponencial é:
onde
é a taxa de falha, que é o inverso da média. Então,
por hora.
Passo 3
Agora, queremos saber a probabilidade de uma lâmpada ter falhado até as 1200 horas. Para isso, usamos a função de distribuição acumulada (CDF) da distribuição exponencial:
Substituindo
e
:
Vamos calcular isso:
Então, cada lâmpada tem aproximadamente 55,07% de chance de ter falhado até as 1200 horas.
Passo 4
Como temos três lâmpadas independentes, queremos a probabilidade de exatamente duas delas terem falhado até as 1200 horas. Isso é um caso de probabilidade binomial, onde temos um número fixo de experimentos (lâmpadas), cada um com dois possíveis resultados (falhar ou não), e a probabilidade de sucesso (falhar) é a mesma para cada experimento.
A fórmula para a probabilidade de exatamente
sucessos em
tentativas é:
Onde
é a combinação de
itens tomados
a
.
Passo 5
Aplicando os valores ao nosso caso:
-
(três lâmpadas) -
(duas falhas) -
Primeiro, calculamos a combinação:
Então, a probabilidade é:
Calculando passo a passo:
-
-
- Multiplicando tudo:
Resposta
A probabilidade de que, após 1200 horas, seja necessário substituir 2 das 3 lâmpadas é aproximadamente 40,86%.