Para
com distribuição normal de média 100 e desvio padrão 20 obtenha:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição normal com média $ \mu = 100 $ e desvio padrão $ \sigma = 20 $. A gente precisa encontrar a probabilidade de $ X $ ser maior que 80, ou seja, $ \mathrm{P}(X > 80) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de normalização e tabela da distribuição normal padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos padronizar o valor 80 para descobrir quantos desvios padrões ele está abaixo da média. A fórmula para padronização é:
Passo 3
Substituindo os valores que temos:
Então, o valor padronizado é $ Z = -1 $.
Passo 4
Agora, queremos encontrar $ \mathrm{P}(X > 80) $, que é o mesmo que $ \mathrm{P}(Z > -1) $ na distribuição normal padrão.
Passo 5
Sabemos que a tabela da distribuição normal padrão nos dá $ \mathrm{P}(Z < z) $. Então, vamos primeiro encontrar $ \mathrm{P}(Z < -1) $. Consultando a tabela ou usando uma calculadora, encontramos que:
Passo 6
Como a probabilidade total é 1, a probabilidade de $ Z $ ser maior que -1 é:
Resposta
A probabilidade de $ X $ ser maior que 80 é aproximadamente $ 0,8413 $, ou 84,13%.